Rjaboesjko A.P. IDZ 3.1 versie 10

Downloaden Spiegel

IDZ - 3.1 Nr. 1.10. Gegeven vier punten A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Het is noodzakelijk om vergelijkingen te maken:

a) vergelijking van het vlak A1A2A3; b) vergelijking van lijn A1A2; c) vergelijking van de rechte lijn A4M loodrecht op vlak A1A2A3; d) vergelijking van rechte lijn A3N evenwijdig aan rechte lijn A1A2; e) vergelijking van een vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht staat op rechte lijn A1A2; f) bereken de sinus van de hoek tussen rechte lijn A1A4 en vlak A1A2A3; g) bereken de cosinus van de hoek tussen het coördinatenvlak Oxy en het vlak A1A2A3.

Antwoord:

a) Om de vergelijking van het vlak A1A2A3 samen te stellen, is het noodzakelijk om het vectorproduct van de vectoren $\vec{A_1A_2}$ en $\vec{A_1A_3}$ te vinden:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

De vergelijking van het vlak A1A2A3 heeft dus de vorm:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Door de coördinaten van punt A1 te vervangen, vinden we de waarde van de constante d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Pijl naar rechts \quad d = 55$$

De vergelijking van het vlak A1A2A3 is dus:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) De vergelijking van rechte lijn A1A2 kan in parametrische vorm worden geschreven:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) De vergelijking van rechte lijn A3N kan in parametrische vorm worden geschreven:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) De vergelijking van een vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht op lijn A1A2 staat, heeft de vorm:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

waarbij $\vec{n}$ de richtingsvector is van de lijn die door de punten A1 en A2 gaat, gelijk aan

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Dan heeft de vergelijking van het gewenste vlak de vorm:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Door de coördinaten van punt A4 te vervangen, vinden we de waarde van de constante d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Pijl naar rechts \quad d = -16$$

Dus de vergelijking van een vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht staat op rechte lijn A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Om de sinus van de hoek tussen de lijn A1A4 en het vlak A1A2A3 te berekenen, is het noodzakelijk om de projectie van de vector $\vec{A_1A_4}$ op de vector loodrecht op het vlak A1A2A3 te vinden:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \circa 0,919$$

g) Om de cosinus van de hoek tussen het coördinaatvlak Oxy en het vlak A1A2A3 te berekenen, is het noodzakelijk om de hoek tussen de normaalvectoren van deze vlakken te vinden:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \circa 0,784$$

Nr. 2.10. Schrijf een vergelijking van het vlak in “segmenten” als het door het punt M(6;-10;1) gaat en het segment a=–3 op de Ox-as afsnijdt; op de Oz-as - segment c=2.

Antwoord:

Het vlak gaat door het punt M(6;-10;1), dus de vergelijking heeft de vorm:

$$ax + door + cz + d = 0$$

Het door het vlak afgesneden segment op de Ox-as heeft een lengte van 3, dus de snijpunten van het vlak met Ox bevinden zich op een afstand van 3 van elkaar. De coördinaten van deze punten zijn dus -3 en 0. Op dezelfde manier bevinden de snijpunten van het vlak met Oz zich op een afstand van 2 van elkaar, dus hun coördinaten zijn 0 en 2.

De vergelijking van het vlak in "segmenten" heeft dus de vorm:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nr. 3.10. Bij welke waarde van A is het vlak Ax + 3y– 5z + 1 = 0 evenwijdig aan de rechte lijn die door de punten (1;2;3) en (4;

Het digitale product "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versie 10" is een educatief en methodologisch complex bedoeld voor studenten die lineaire algebra en meetkunde bestuderen als onderdeel van hun curriculum. Het complex bevat oplossingen voor problemen met het onderwerp "Vergelijkingen van vlakken en lijnen in de ruimte", geformuleerd in optie 10.

Het complex wordt gepresenteerd in de vorm van een elektronisch document dat kan worden gedownload via de digitale goederenwinkel. Het document is ontworpen in een prachtig HTML-formaat, dat een handige en aantrekkelijke visuele interface voor de gebruiker biedt.

Het complex biedt gedetailleerde oplossingen voor problemen waarmee studenten het onderwerp gemakkelijk onder de knie kunnen krijgen en hun kennisniveau in lineaire algebra en meetkunde kunnen vergroten. Oplossingen voor problemen gaan vergezeld van stapsgewijze uitleg en grafische illustraties, waardoor het bestuderen van het onderwerp begrijpelijker en visueler wordt.

Het digitale product "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versie 10" is een onmisbare assistent voor studenten die lineaire algebra en meetkunde studeren, maar ook voor docenten die het als aanvullend educatief materiaal kunnen gebruiken.

Om ervoor te zorgen dat het vlak evenwijdig is aan de lijn die door het punt M(x₀;y₀;z₀) gaat en een richtingsvector $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$ heeft, is het noodzakelijk dat de normaal vector van het vlak loodrecht staan op de richtingsvector van de lijn. De normaalvector van het vlak heeft coördinaten (A; 3; -5). De voorwaarde voor een vlak dat evenwijdig is aan een rechte lijn wordt dus geschreven als:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Laten we A uitdrukken met deze vergelijking:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Het vlak zal dus evenwijdig zijn aan een gegeven rechte lijn met een waarde van A gelijk aan $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Rjaboesjko A.P. IDZ 3.1 versie 10 is een wiskundetaak die verschillende taken omvat voor het opstellen van vergelijkingen van lijnen en vlakken in de ruimte, en voor het berekenen van de hoeken daartussen. De taak krijgt vier punten in de ruimte en je moet vergelijkingen van het vlak en rechte lijnen maken, hoeken berekenen en de waarden van de variabelen in de vergelijking van het vlak vinden. Aan het einde is er een contactpersoon voorzien voor eventuele vragen.

***

Rjaboesjko A.P. IDZ 3.1 versie 10 is een uitstekend digitaal product voor studenten en middelbare scholieren.
Deze IDL zal u helpen computerwetenschappelijk materiaal beter te begrijpen en uw kennis te verbeteren.
Dankzij IDZ 3.1 versie 10 van Ryabushko A.P. kun je je eenvoudig voorbereiden op een examen of toets in de informatica.
Door problemen op te lossen in IPD 3.1 versie 10 kunt u theoretisch materiaal consolideren en sleutelconcepten beter onthouden.
IDS 3.1 versie 10 verschilt van andere digitale computerwetenschappelijke producten qua toegankelijkheid en begrijpelijkheid.
Dit product is perfect voor degenen die zelfstandig computerwetenschappen leren of extra hulp nodig hebben bij hun studie.
Rjaboesjko A.P. IDS 3.1 versie 10 is een betrouwbare en bewezen bron van informatie over informatica.