Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10

IDZ - 3.1 nr. 1.10. Givet fire punkter A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Det er nødvendigt at lave ligninger:

a) ligning af planet A1A2A3; b) ligning af linie A1A2; c) ligning af lige linje A4M vinkelret på plan A1A2A3; d) ligning af lige linje A3N parallel med lige linje A1A2; e) ligning af et plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på den rette linje A1A2; f) beregn sinus af vinklen mellem den rette linje A1A4 og plan A1A2A3; g) beregn cosinus af vinklen mellem koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3.

Svar:

a) For at kompilere ligningen for planen A1A2A3 er det nødvendigt at finde vektorproduktet af vektorerne $\vec{A_1A_2}$ og $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Således har ligningen for planet A1A2A3 formen:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Ved at erstatte koordinaterne for punkt A1 finder vi værdien af konstanten d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Således er ligningen for planet A1A2A3:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) Ligningen for lige linje A1A2 kan skrives på parametrisk form:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) Ligningen for lige linje A3N kan skrives på parametrisk form:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Ligningen for et plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på linje A1A2, har formen:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

hvor $\vec{n}$ er retningsvektoren for den linje, der går gennem punkterne A1 og A2, lig med

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Så har ligningen for det ønskede plan formen:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Ved at erstatte koordinaterne for punkt A4 finder vi værdien af konstanten d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Således ligningen for et plan, der passerer gennem punkt A4 og vinkelret på den rette linje A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) For at beregne sinus af vinklen mellem linjen A1A4 og planen A1A2A3, er det nødvendigt at finde projektionen af vektoren $\vec{A_1A_4}$ på vektornormalen til planen A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ca. 0,919$$

g) For at beregne cosinus af vinklen mellem koordinatplanet Oxy og planen A1A2A3, er det nødvendigt at finde vinklen mellem normalvektorerne i disse planer:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ca. 0,784$$

Nr. 2.10. Skriv en ligning af planet i "segmenter", hvis den passerer gennem punktet M(6;-10;1) og afskærer segmentet a=–3 på Ox-aksen; på Oz-aksen - segment c=2.

Svar:

Flyet passerer gennem punktet M(6;-10;1), så dets ligning har formen:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Segmentet på Ox-aksen afskåret af planet har en længde på 3, så skæringspunkterne mellem planet og Ox er i en afstand af 3 fra hinanden. Koordinaterne for disse punkter er således -3 og 0. På samme måde er skæringspunkterne mellem planet og Oz i en afstand af 2 fra hinanden, så deres koordinater er 0 og 2.

Således har flyets ligning i "segmenter" formen:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nr. 3.10. Ved hvilken værdi af A er planen Ax + 3y– 5z + 1 = 0 parallel med den rette linje, der går gennem punkterne (1;2;3) og (4;

Det digitale produkt "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10" er et pædagogisk og metodisk kompleks beregnet til studerende, der studerer lineær algebra og geometri som en del af deres læseplan. Komplekset indeholder løsninger på problemer om emnet "Ligninger af planer og linjer i rummet", formuleret i mulighed 10.

Komplekset præsenteres i form af et elektronisk dokument, der kan downloades fra den digitale varebutik. Dokumentet er designet i et smukt HTML-format, som giver en praktisk og attraktiv visuel grænseflade for brugeren.

Komplekset præsenterer detaljerede løsninger på problemer, der giver eleverne mulighed for nemt at mestre emnet og øge deres vidensniveau inden for lineær algebra og geometri. Løsninger på problemer er ledsaget af trinvise forklaringer og grafiske illustrationer, hvilket gør studiet af emnet mere forståeligt og visuelt.

Det digitale produkt "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10" er en uundværlig assistent for studerende, der studerer lineær algebra og geometri, såvel som for lærere, der kan bruge det som ekstra undervisningsmateriale.

For at planet skal være parallelt med linjen, der går gennem punktet M(x₀;y₀;z₀) og har en retningsvektor $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, er det nødvendigt, at normalen vektor af planet være vinkelret på retningsvektor af linjen. Planens normalvektor har koordinater (A; 3; -5). Betingelsen for, at en plan er parallel med en ret linje, skrives således som:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Lad os udtrykke A ud fra denne ligning:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$ Således vil planet være parallel med en given ret linje med en værdi på A lig med $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10 er en matematikopgave, der omfatter flere opgaver om at sammensætte ligninger af linjer og planer i rummet, samt beregning af vinkler mellem dem. Opgaven er givet fire punkter i rummet, og du skal lave ligninger af planet, rette linjer, beregne vinkler og finde værdierne af variablerne i planens ligning. Til sidst er der en kontaktperson for eventuelle spørgsmål, du måtte have.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10 er et fremragende digitalt produkt til studerende og gymnasieelever.
Denne IDL hjælper dig med bedre at forstå datalogimateriale og forbedre din viden.
Takket være IDZ 3.1 version 10 fra Ryabushko A.P. kan du nemt forberede dig til en eksamen eller test i datalogi.
Løsning af problemer i IPD 3.1 version 10 vil hjælpe dig med at konsolidere teoretisk materiale og bedre huske nøglebegreber.
IDS 3.1 version 10 adskiller sig fra andre digitale datalogiprodukter i sin tilgængelighed og forståelighed.
Dette produkt er perfekt til dem, der lærer datalogi på egen hånd eller har brug for ekstra hjælp til deres studier.
Ryabushko A.P. IDS 3.1 version 10 er en pålidelig og dokumenteret kilde til information om datalogi.