Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 10

IDZ - 3.1 Nr. 1.10. Gegeben sind vier Punkte A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Gleichung der Ebene A1A2A3; b) Gleichung der Geraden A1A2; c) Gleichung der Geraden A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2; e) Gleichung einer Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht; f) Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Berechnen Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

Antwort:

a) Um die Gleichung der Ebene A1A2A3 aufzustellen, muss das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{A_1A_2}$ und $\vec{A_1A_3}$ ermittelt werden:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Durch Ersetzen der Koordinaten des Punktes A1 ermitteln wir den Wert der Konstante d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Somit lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) Die Gleichung der Geraden A1A2 kann in parametrischer Form geschrieben werden:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) Die Gleichung der Geraden A3N kann in parametrischer Form geschrieben werden:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, hat die Form:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

wobei $\vec{n}$ der Richtungsvektor der Linie ist, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft, gleich

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Dann hat die Gleichung der gewünschten Ebene die Form:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Durch Ersetzen der Koordinaten von Punkt A4 ermitteln wir den Wert der Konstante d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Somit lautet die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Um den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 zu berechnen, muss die Projektion des Vektors $\vec{A_1A_4}$ auf den Vektor normal zur Ebene A1A2A3 ermittelt werden:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ungefähr 0,919$$

g) Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 zu berechnen, muss der Winkel zwischen den Normalenvektoren dieser Ebenen ermittelt werden:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ungefähr 0,784$$

Nr. 2.10. Schreiben Sie eine Gleichung der Ebene in „Segmenten“, wenn sie durch den Punkt M(6;-10;1) verläuft und das Segment a=–3 auf der Ox-Achse abschneidet; auf der Oz-Achse - Segment c=2.

Antwort:

Die Ebene geht durch den Punkt M(6;-10;1), daher hat ihre Gleichung die Form:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Das von der Ebene abgeschnittene Segment auf der Ox-Achse hat eine Länge von 3, sodass die Schnittpunkte der Ebene mit Ox einen Abstand von 3 voneinander haben. Somit sind die Koordinaten dieser Punkte -3 und 0. Ebenso haben die Schnittpunkte der Ebene mit Oz einen Abstand von 2 voneinander, sodass ihre Koordinaten 0 und 2 sind.

Somit hat die Gleichung der Ebene in „Segmenten“ die Form:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nr. 3.10. Bei welchem ​​Wert von A liegt die Ebene Ax + 3y– 5z + 1 = 0 parallel zur Linie durch die Punkte (1;2;3) und (4;

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Damit die Ebene parallel zu der Linie ist, die durch den Punkt M(x₀;y₀;z₀) verläuft und einen Richtungsvektor $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$ hat, ist es notwendig, dass die Normale Der Vektor der Ebene steht senkrecht zum Richtungsvektor der Linie. Der Normalenvektor der Ebene hat die Koordinaten (A; 3; -5). Somit wird die Bedingung dafür, dass eine Ebene parallel zu einer geraden Linie ist, wie folgt geschrieben:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Lassen Sie uns A aus dieser Gleichung ausdrücken:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Daher ist die Ebene parallel zu einer gegebenen geraden Linie mit einem Wert von A gleich $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 10 ist eine Mathematikaufgabe, die mehrere Aufgaben zum Erstellen von Gleichungen von Linien und Ebenen im Raum sowie zum Berechnen von Winkeln zwischen ihnen umfasst. Die Aufgabe besteht aus vier Punkten im Raum und Sie müssen Gleichungen der Ebene und Geraden erstellen, Winkel berechnen und die Werte der Variablen in der Gleichung der Ebene finden. Am Ende steht Ihnen ein Ansprechpartner für eventuelle Fragen zur Verfügung.

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