Ryabushko A.P. IDZ 3.1 wersja 10

IDZ - 3.1 nr 1.10. Biorąc pod uwagę cztery punkty A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Konieczne jest utworzenie równań:

a) równanie płaszczyzny A1A2A3; b) równanie linii A1A2; c) równanie prostej A4M prostopadłej do płaszczyzny A1A2A3; d) równanie prostej A3N równoległej do prostej A1A2; e) równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2; f) obliczyć sinus kąta pomiędzy prostą A1A4 a płaszczyzną A1A2A3; g) obliczyć cosinus kąta pomiędzy płaszczyzną współrzędnych Oxy i płaszczyzną A1A2A3.

Odpowiedź:

a) Aby zestawić równanie płaszczyzny A1A2A3, należy znaleźć iloczyn wektorowy wektorów $\vec{A_1A_2}$ i $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Zatem równanie płaszczyzny A1A2A3 ma postać:

$$-5x - 9 lat + 16z + d = 0$$

Podstawiając współrzędne punktu A1, znajdujemy wartość stałej d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Strzałka w prawo \quad d = 55$$

Zatem równanie płaszczyzny A1A2A3 wygląda następująco:

$$-5x - 9 lat + 16z + 55 = 0$$

b) Równanie prostej A1A2 można zapisać w postaci parametrycznej:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) Równanie prostej A3N można zapisać w postaci parametrycznej:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2 ma postać:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

gdzie $\vec{n}$ jest wektorem kierunku prostej przechodzącej przez punkty A1 i A2, równym

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Wówczas równanie żądanej płaszczyzny ma postać:

$$-x - 4 lata + 5z + d = 0$$

Podstawiając współrzędne punktu A4, znajdujemy wartość stałej d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Strzałka w prawo \quad d = -16$$

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2:

$$-x - 4 lata + 5z - 16 = 0 $$

f) Aby obliczyć sinus kąta pomiędzy prostą A1A4 a płaszczyzną A1A2A3 należy znaleźć rzut wektora $\vec{A_1A_4}$ na wektor normalny do płaszczyzny A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \około 0,919$$

g) Aby obliczyć cosinus kąta pomiędzy płaszczyzną współrzędnych Oxy a płaszczyzną A1A2A3, należy znaleźć kąt pomiędzy wektorami normalnymi tych płaszczyzn:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \około 0,784$$

Nr 2.10. Zapisz równanie płaszczyzny w „odcinkach”, jeżeli przechodzi ona przez punkt M(6;-10;1) i odcina odcinek a=–3 na osi Wół; na osi Oz - odcinek c=2.

Odpowiedź:

Płaszczyzna przechodzi przez punkt M(6;-10;1), więc jej równanie ma postać:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Odcinek na osi Ox odcięty przez płaszczyznę ma długość 3, zatem punkty przecięcia płaszczyzny z Ox znajdują się w odległości 3 od siebie. Zatem współrzędne tych punktów to -3 i 0. Podobnie punkty przecięcia płaszczyzny z Oz znajdują się w odległości 2 od siebie, więc ich współrzędne wynoszą 0 i 2.

Zatem równanie płaszczyzny w „odcinkach” ma postać:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nr 3.10. Przy jakiej wartości A znajduje się płaszczyzna Ax + 3y– 5z + 1 = 0 równoległa do prostej przechodzącej przez punkty (1;2;3) i (4;

Produkt cyfrowy „Ryabushko A.P. IDZ 3.1 wersja 10” to kompleks edukacyjno-metodologiczny przeznaczony dla studentów studiujących algebrę liniową i geometrię w ramach programu nauczania. Kompleks zawiera rozwiązania problemów na temat „Równania płaszczyzn i linii w przestrzeni”, sformułowane w opcji 10.

Kompleks prezentowany jest w formie dokumentu elektronicznego, który można pobrać ze sklepu z towarami cyfrowymi. Dokument został zaprojektowany w pięknym formacie HTML, który zapewnia użytkownikowi wygodny i atrakcyjny interfejs wizualny.

Kompleks przedstawia szczegółowe rozwiązania problemów, które pozwolą uczniom w łatwy sposób opanować temat i zwiększyć poziom wiedzy z algebry liniowej i geometrii. Rozwiązaniom problemów towarzyszą objaśnienia krok po kroku i ilustracje graficzne, co czyni studiowanie tematu bardziej zrozumiałym i wizualnym.

Cyfrowy produkt „Ryabushko A.P. IDZ 3.1 wersja 10” jest niezbędnym pomocnikiem dla uczniów studiujących algebrę liniową i geometrię, a także dla nauczycieli, którzy mogą wykorzystać go jako dodatkowy materiał edukacyjny.

Aby płaszczyzna była równoległa do prostej przechodzącej przez punkt M(x₀;y₀;z₀) i posiadała wektor kierunkowy $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, konieczne jest, aby normalna wektor płaszczyzny jest prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Wektor normalny płaszczyzny ma współrzędne (A; 3; -5). Zatem warunek równoległości płaszczyzny do prostej zapisuje się jako:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Wyraźmy A z tego równania:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$ Zatem płaszczyzna będzie równoległa do danej prostej o wartości A równej $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 wersja 10 to zadanie matematyczne, które zawiera kilka zadań dotyczących układania równań prostych i płaszczyzn w przestrzeni, a także obliczania kątów między nimi. Zadanie ma cztery punkty w przestrzeni i trzeba utworzyć równania płaszczyzny, linie proste, obliczyć kąty i znaleźć wartości zmiennych w równaniu płaszczyzny. Na końcu znajduje się osoba kontaktowa, która odpowie na wszelkie pytania.

***

1. Ryabushko A.P. IDZ 3.1 wersja 10 to doskonały produkt cyfrowy dla uczniów i uczniów szkół średnich.
2. Ten IDL pomoże Ci lepiej zrozumieć materiał z zakresu informatyki i poszerzyć swoją wiedzę.
3. Dzięki IDZ 3.1 wersja 10 firmy Ryabushko A.P. w łatwy sposób przygotujesz się do egzaminu lub testu z informatyki.
4. Rozwiązywanie problemów w IPD 3.1 wersja 10 pomoże Ci utrwalić materiał teoretyczny i lepiej zapamiętać kluczowe pojęcia.
5. IDS 3.1 wersja 10 różni się od innych produktów z zakresu informatyki cyfrowej przystępnością i zrozumiałością.
6. Produkt ten jest idealny dla tych, którzy samodzielnie uczą się informatyki lub potrzebują dodatkowej pomocy w nauce.
7. Ryabushko A.P. IDS 3.1 wersja 10 to rzetelne i sprawdzone źródło informacji z zakresu informatyki.

Osobliwości:

IDZ 3.1 opcja 10 Ryabushko A.P. - świetny produkt cyfrowy dla studentów.

Ta wersja IDZ 3.1 pomogła mi lepiej zrozumieć materiał.

Zeszyt ćwiczeń IDZ 3.1 opcja 10 Ryabushko A.P. zawiera przydatne zadania.

Dużo nowej wiedzy zdobyłem dzięki opcji IDZ 3.1 10 Ryabushko A.P.

Wygodny format opcji IDZ 3.1 10 Ryabushko A.P. pozwolił mi szybko i łatwo wykonać zadania.

IDZ 3.1 opcja 10 Ryabushko A.P. - Świetny wybór do samodzielnej pracy.

Koszt opcji IDZ 3.1 10 Ryabushko A.P. w pełni odpowiada jego jakości i przydatności.