Ryabushko A.P. IDZ 3.1 버전 10

IDZ-3.1 No. 1.10. 4개의 점 A1(6;8;2)이 주어졌습니다. A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). 방정식을 작성해야 합니다.

a) 평면 A1A2A3의 방정식; b) 라인 A1A2의 방정식; c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M의 방정식; d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N의 방정식; e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식; f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 사인을 계산합니다. g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산합니다.

답변:

a) 평면 A1A2A3의 방정식을 컴파일하려면 $\vec{A_1A_2}$ 및 $\vec{A_1A_3}$ 벡터의 벡터 곱을 찾아야 합니다.

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$-5x - 9년 + 16z + d = 0$$

점 A1의 좌표를 대체하면 상수 d의 값을 찾습니다.

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같습니다.

$$-5x - 9년 + 16z + 55 = 0$$

b) 직선 A1A2의 방정식은 매개변수 형식으로 작성할 수 있습니다.

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) 직선 A3N의 방정식은 매개변수 형식으로 작성할 수 있습니다.

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

여기서 $\vec{n}$는 점 A1과 A2를 통과하는 선의 방향 벡터입니다.

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

그런 다음 원하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$-x - 4년 + 5z + d = 0$$

점 A4의 좌표를 대체하여 상수 d의 값을 찾습니다.

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

따라서 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

$$-x - 4년 + 5z - 16 = 0$$

f) 선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 계산하려면 평면 A1A2A3에 수직인 벡터에 $\vec{A_1A_4}$ 벡터의 투영을 찾아야 합니다.

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \약 0.919$$

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산하려면 이러한 평면의 법선 벡터 사이의 각도를 찾아야 합니다.

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \약 0.784$$

2.10. 평면이 점 M(6;-10;1)을 통과하고 Ox 축에서 세그먼트 a=-3을 자르면 "세그먼트"로 평면에 대한 방정식을 작성하십시오. 오즈 축에서 - 세그먼트 c=2입니다.

답변:

평면은 점 M(6;-10;1)을 통과하므로 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

$$ax + by + cz + d = 0$$

평면에 의해 절단된 Ox 축의 선분은 길이가 3이므로 평면과 Ox의 교차점은 서로 3의 거리에 있습니다. 따라서 이 점의 좌표는 -3과 0입니다. 마찬가지로 평면과 Oz의 교차점은 서로 2의 거리에 있으므로 좌표는 0과 2입니다.

따라서 "세그먼트"의 평면 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

번호 3.10. A의 값은 점 (1;2;3)과 (4;

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평면이 점 M(x₀;y₀;z₀)을 통과하고 방향 벡터 $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$를 갖는 선과 평행하기 위해서는 법선이 필요합니다. 평면의 벡터는 선의 방향 벡터에 수직이어야 합니다. 평면의 법선 벡터에는 좌표(A; 3; -5)가 있습니다. 따라서 평면이 직선과 평행하기 위한 조건은 다음과 같습니다.$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$ 이 방정식에서 A를 표현하겠습니다.$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$따라서 평면은 A 값이 $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$인 주어진 직선과 평행합니다.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 버전 10은 공간에서 선과 평면의 방정식을 구성하고 그 사이의 각도를 계산하는 여러 작업을 포함하는 수학 작업입니다. 작업에는 공간에 네 개의 점이 주어지며 평면 방정식, 직선을 만들고 각도를 계산하고 평면 방정식의 변수 값을 찾아야 합니다. 질문이 있을 경우 마지막에 연락 담당자가 제공됩니다.

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