Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10

IDZ - 3.1 nr 1.10. Givet fyra punkter A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Det är nödvändigt att skapa ekvationer:

a) ekvation för planet A1A2A3; b) ekvation för linje A1A2; c) ekvation av rät linje A4M vinkelrät mot planet A1A2A3; d) ekvation av rät linje A3N parallell med rät linje A1A2; e) ekvation för ett plan som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot den räta linjen A1A2; f) beräkna sinus för vinkeln mellan den räta linjen A1A4 och planet A1A2A3; g) beräkna cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3.

Svar:

a) För att kompilera ekvationen för planet A1A2A3 är det nödvändigt att hitta vektorprodukten av vektorerna $\vec{A_1A_2}$ och $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Således har ekvationen för planet A1A2A3 formen:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Genom att ersätta koordinaterna för punkt A1 hittar vi värdet på konstanten d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Således är ekvationen för planet A1A2A3:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) Ekvationen för den räta linjen A1A2 kan skrivas i parametrisk form:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) Ekvationen för den räta linjen A3N kan skrivas i parametrisk form:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Ekvationen för ett plan som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot linjen A1A2 har formen:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

där $\vec{n}$ är riktningsvektorn för den linje som går genom punkterna A1 och A2, lika med

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Sedan har ekvationen för det önskade planet formen:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Genom att ersätta koordinaterna för punkt A4 finner vi värdet på konstanten d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Således, ekvationen för ett plan som passerar genom punkt A4 och vinkelrätt mot den räta linjen A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) För att beräkna sinus för vinkeln mellan linjen A1A4 och planet A1A2A3, är det nödvändigt att hitta projektionen av vektorn $\vec{A_1A_4}$ på vektorn normal till planet A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ca 0,919$$

g) För att beräkna cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3 är det nödvändigt att hitta vinkeln mellan normalvektorerna för dessa plan:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ca 0,784$$

Nr 2.10. Skriv en ekvation av planet i "segment" om det passerar genom punkten M(6;-10;1) och skär av segmentet a=–3 på Ox-axeln; på Oz-axeln - segment c=2.

Svar:

Planet passerar genom punkten M(6;-10;1), så dess ekvation har formen:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Segmentet på Ox-axeln avskuret av planet har en längd av 3, så skärningspunkterna mellan planet och Ox är på ett avstånd av 3 från varandra. Således är koordinaterna för dessa punkter -3 och 0. På samma sätt är skärningspunkterna för planet med Oz på ett avstånd av 2 från varandra, så deras koordinater är 0 och 2.

Således har ekvationen för planet i "segment" formen:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nr 3.10. Vid vilket värde av A är planet Ax + 3y– 5z + 1 = 0 parallellt med den räta linjen som går genom punkterna (1;2;3) och (4;

Den digitala produkten "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10" är ett pedagogiskt och metodologiskt komplex avsett för studenter som studerar linjär algebra och geometri som en del av sin läroplan. Komplexet innehåller lösningar på problem om ämnet "Ekvationer av plan och linjer i rymden", formulerade i alternativ 10.

Komplexet presenteras i form av ett elektroniskt dokument som kan laddas ner från den digitala varubutiken. Dokumentet är designat i ett vackert HTML-format, vilket ger ett bekvämt och attraktivt visuellt gränssnitt för användaren.

Komplexet presenterar detaljerade lösningar på problem som gör att eleverna enkelt kan bemästra ämnet och öka sin kunskapsnivå inom linjär algebra och geometri. Lösningar på problem åtföljs av steg-för-steg förklaringar och grafiska illustrationer, vilket gör att studera ämnet mer förståeligt och visuellt.

Den digitala produkten "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10" är en oumbärlig assistent för studenter som studerar linjär algebra och geometri, såväl som för lärare som kan använda den som ytterligare utbildningsmaterial.

För att planet ska vara parallellt med linjen som går genom punkten M(x₀;y₀;z₀) och har en riktningsvektor $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, är det nödvändigt att normalen vektor för planet vara vinkelrät mot riktningsvektorn för linjen. Planets normalvektor har koordinater (A; 3; -5). Således skrivs villkoret för att ett plan ska vara parallellt med en rät linje som:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$ Låt oss uttrycka A från denna ekvation:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$ Alltså kommer planet att vara parallellt med en given rät linje med värdet A lika med $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10 är en matematikuppgift som innehåller flera uppgifter om att komponera ekvationer av linjer och plan i rymden, samt att beräkna vinklar mellan dem. Uppgiften ges fyra punkter i rymden och du behöver skapa ekvationer för planet, räta linjer, beräkna vinklar och hitta värdena för variablerna i planets ekvation. En kontaktperson finns i slutet för alla frågor du kan ha.

***

1. Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10 är en utmärkt digital produkt för elever och gymnasieelever.
2. Denna IDL hjälper dig att bättre förstå datavetenskapligt material och förbättra dina kunskaper.
3. Tack vare IDZ 3.1 version 10 från Ryabushko A.P. kan du enkelt förbereda dig för ett prov eller prov i datavetenskap.
4. Att lösa problem i IPD 3.1 version 10 hjälper dig att konsolidera teoretiskt material och bättre komma ihåg nyckelbegrepp.
5. IDS 3.1 version 10 skiljer sig från andra digitala datavetenskapsprodukter i sin tillgänglighet och förståelighet.
6. Denna produkt är perfekt för dig som lär sig datavetenskap på egen hand eller behöver extra hjälp med sina studier.
7. Ryabushko A.P. IDS 3.1 version 10 är en pålitlig och beprövad informationskälla om datavetenskap.

Egenheter:

IDZ 3.1 alternativ 10 Ryabushko A.P. - en fantastisk digital produkt för studenter.

Den här versionen av IDZ 3.1 hjälpte mig att förstå materialet bättre.

Arbetsbok IDZ 3.1 alternativ 10 Ryabushko A.P. innehåller användbara uppgifter.

Jag fick mycket ny kunskap tack vare IDZ 3.1-alternativet 10 Ryabushko A.P.

Bekvämt format för IDZ 3.1 alternativ 10 Ryabushko A.P. tillät mig att snabbt och enkelt utföra uppgifter.

IDZ 3.1 alternativ 10 Ryabushko A.P. - Ett utmärkt val för självständigt arbete.

Kostnad för IDZ 3.1 alternativ 10 Ryabushko A.P. helt överensstämmer med dess kvalitet och användbarhet.