Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versjon 10

IDZ - 3.1 nr. 1.10. Gitt fire punkter A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Det er nødvendig å lage ligninger:

a) likning av planet A1A2A3; b) likning av linje A1A2; c) ligning av rett linje A4M vinkelrett på plan A1A2A3; d) ligning av rett linje A3N parallell med rett linje A1A2; e) ligning av et plan som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på rett linje A1A2; f) beregne sinusen til vinkelen mellom rett linje A1A4 og planet A1A2A3; g) beregne cosinus til vinkelen mellom koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3.

Svar:

a) For å kompilere ligningen til planet A1A2A3, er det nødvendig å finne vektorproduktet til vektorene $\vec{A_1A_2}$ og $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Dermed har ligningen til planet A1A2A3 formen:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Ved å erstatte koordinatene til punkt A1 finner vi verdien av konstanten d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Dermed er ligningen til planet A1A2A3:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) Ligningen til rett linje A1A2 kan skrives på parametrisk form:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) Ligningen til rett linje A3N kan skrives på parametrisk form:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Ligningen til et plan som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på linjen A1A2 har formen:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

der $\vec{n}$ er retningsvektoren til linjen som går gjennom punktene A1 og A2, lik

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Da har ligningen til det ønskede planet formen:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Ved å erstatte koordinatene til punkt A4 finner vi verdien av konstanten d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Således, ligningen til et plan som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på rett linje A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) For å beregne sinusen til vinkelen mellom linjen A1A4 og planet A1A2A3, er det nødvendig å finne projeksjonen av vektoren $\vec{A_1A_4}$ på vektornormalen til planet A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ca. 0,919$$

g) For å beregne cosinus til vinkelen mellom koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3, er det nødvendig å finne vinkelen mellom normalvektorene til disse planene:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \ca. 0,784$$

Nr. 2.10. Skriv en ligning av planet i "segmenter" hvis det går gjennom punktet M(6;-10;1) og skjærer av segmentet a=–3 på Ox-aksen; på Oz-aksen - segment c=2.

Svar:

Flyet går gjennom punktet M(6;-10;1), så ligningen har formen:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Segmentet på Ox-aksen avskåret av planet har en lengde på 3, så skjæringspunktene mellom planet og Ox er i en avstand på 3 fra hverandre. Dermed er koordinatene til disse punktene -3 og 0. På samme måte er skjæringspunktene til planet med Oz i en avstand på 2 fra hverandre, så koordinatene deres er 0 og 2.

Dermed har ligningen til planet i "segmenter" formen:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nr. 3.10. Ved hvilken verdi av A er planet Ax + 3y– 5z + 1 = 0 parallelt med linjen som går gjennom punktene (1;2;3) og (4;

Det digitale produktet "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versjon 10" er et pedagogisk og metodisk kompleks beregnet på studenter som studerer lineær algebra og geometri som en del av pensum. Komplekset inneholder løsninger på problemer om emnet "Ligninger av fly og linjer i rommet", formulert i alternativ 10.

Komplekset presenteres i form av et elektronisk dokument som kan lastes ned fra den digitale varebutikken. Dokumentet er utformet i et vakkert HTML-format, som gir et praktisk og attraktivt visuelt grensesnitt for brukeren.

Komplekset presenterer detaljerte løsninger på problemer som lar elevene enkelt mestre emnet og øke kunnskapsnivået innen lineær algebra og geometri. Løsninger på problemer er ledsaget av trinnvise forklaringer og grafiske illustrasjoner, noe som gjør studiet av emnet mer forståelig og visuelt.

Det digitale produktet "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versjon 10" er en uunnværlig assistent for studenter som studerer lineær algebra og geometri, så vel som for lærere som kan bruke det som ekstra pedagogisk materiale.

For at planet skal være parallelt med linjen som går gjennom punktet M(x₀;y₀;z₀) og har en retningsvektor $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, er det nødvendig at normalen vektoren til planet være vinkelrett på retningsvektoren til linjen. Normalvektoren til planet har koordinater (A; 3; -5). Dermed er betingelsen for at et plan skal være parallelt med en rett linje skrevet som:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$La oss uttrykke A fra denne ligningen:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$ Dermed vil planet være parallelt med en gitt rett linje med verdien A lik $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versjon 10 er en matematikkoppgave som inkluderer flere oppgaver om å komponere likninger av linjer og plan i rommet, samt å beregne vinkler mellom dem. Oppgaven er gitt fire punkter i rommet, og du må lage likninger av planet, rette linjer, beregne vinkler og finne verdiene til variablene i likningen til planet. På slutten får du en kontaktperson for spørsmål du måtte ha.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versjon 10 er et utmerket digitalt produkt for elever og videregående elever.
Denne IDL vil hjelpe deg å bedre forstå datavitenskapelig materiale og forbedre kunnskapen din.
Takket være IDZ 3.1 versjon 10 fra Ryabushko A.P. kan du enkelt forberede deg til en eksamen eller test i informatikk.
Å løse problemer i IPD 3.1 versjon 10 vil hjelpe deg å konsolidere teoretisk materiale og bedre huske nøkkelbegreper.
IDS 3.1 versjon 10 skiller seg fra andre digitale informatikkprodukter i sin tilgjengelighet og forståelighet.
Dette produktet er perfekt for de som lærer informatikk på egenhånd eller trenger ekstra hjelp med studiene.
Ryabushko A.P. IDS 3.1 versjon 10 er en pålitelig og velprøvd kilde til informasjon om informatikk.