Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 10

Изтегли Огледало

IDZ - 3.1 № 1.10. Дадени са четири точки A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Необходимо е да се съставят уравнения:

а) уравнение на равнината A1A2A3; б) уравнение на права A1A2; в) уравнение на права A4M, перпендикулярна на равнина A1A2A3; г) уравнение на права A3N, успоредна на права A1A2; д) уравнение на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на права A1A2; е) пресметнете синуса на ъгъла между права A1A4 и равнина A1A2A3; ж) пресметнете косинуса на ъгъла между координатната равнина Oxy и равнината A1A2A3.

Решение:

а) За съставяне на уравнението на равнината A1A2A3 е необходимо да се намери векторното произведение на векторите $\vec{A_1A_2}$ и $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Така уравнението на равнината A1A2A3 има формата:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Замествайки координатите на точка A1, намираме стойността на константата d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Така уравнението на равнината A1A2A3 е:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

б) Уравнението на права линия A1A2 може да бъде написано в параметрична форма:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

г) Уравнението на права линия A3N може да бъде написано в параметрична форма:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

д) Уравнението на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на права A1A2, има формата:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

където $\vec{n}$ е насочващият вектор на правата, минаваща през точки A1 и A2, равен на

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Тогава уравнението на желаната равнина има формата:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Замествайки координатите на точка A4, намираме стойността на константата d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Така уравнението на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на права линия A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

е) За да се изчисли синусът на ъгъла между правата A1A4 и равнината A1A2A3, е необходимо да се намери проекцията на вектора $\vec{A_1A_4}$ върху нормалата на вектора към равнината A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \приблизително 0,919$$

g) За да се изчисли косинусът на ъгъла между координатната равнина Oxy и равнината A1A2A3, е необходимо да се намери ъгълът между нормалните вектори на тези равнини:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \приблизително 0,784$$

№ 2.10. Напишете уравнение на равнината в „отсечки“, ако тя минава през точката M(6;-10;1) и отрязва отсечката a=–3 на оста Ox; по оста Oz - отсечка c=2.

Решение:

Равнината минава през точката M(6;-10;1), така че нейното уравнение има формата:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Сегментът на оста Ox, отсечен от равнината, има дължина 3, така че точките на пресичане на равнината с Ox са на разстояние 3 една от друга. По този начин координатите на тези точки са -3 и 0. По същия начин точките на пресичане на равнината с Oz са на разстояние 2 една от друга, така че техните координати са 0 и 2.

По този начин уравнението на равнината в „сегменти“ има формата:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

№ 3.10. При каква стойност на A равнината Ax + 3y– 5z + 1 = 0 е успоредна на правата, минаваща през точките (1;2;3) и (4;

Дигиталният продукт "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 версия 10" е учебно-методически комплекс, предназначен за ученици, изучаващи линейна алгебра и геометрия като част от учебната си програма. Комплексът съдържа решения на задачи по темата "Уравнения на равнини и прави в пространството", формулирани във вариант 10.

Комплексът е представен под формата на електронен документ, който може да бъде изтеглен от магазина за цифрови стоки. Документът е проектиран в красив HTML формат, който предоставя удобен и атрактивен визуален интерфейс за потребителя.

В комплекса са представени подробни решения на задачи, които ще позволят на учениците лесно да усвоят темата и да повишат нивото си на знания по линейна алгебра и геометрия. Решенията на проблемите са придружени от стъпка по стъпка обяснения и графични илюстрации, което прави изучаването на темата по-разбираемо и визуално.

Дигиталният продукт "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 версия 10" е незаменим помощник за ученици, които изучават линейна алгебра и геометрия, както и за учители, които могат да го използват като допълнителен учебен материал.

За да бъде равнината успоредна на правата, минаваща през точката M(x₀;y₀;z₀) и имаща насочващ вектор $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, е необходимо нормалата векторът на равнината е перпендикулярен на насочващия вектор на правата. Нормалният вектор на равнината има координати (A; 3; -5). Така условието равнината да бъде успоредна на права линия се записва като:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Нека изразим A от това уравнение:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$По този начин равнината ще бъде успоредна на дадена права линия със стойност на A, равна на $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 10 е задача по математика, която включва няколко задачи за съставяне на уравнения на прави и равнини в пространството, както и изчисляване на ъгли между тях. В задачата са дадени четири точки в пространството и трябва да създадете уравнения на равнината, прави линии, да изчислите ъгли и да намерите стойностите на променливите в уравнението на равнината. В края е осигурено лице за контакт за всякакви въпроси, които може да имате.

***

Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 10 е отличен цифров продукт за студенти и гимназисти.
Този IDL ще ви помогне да разберете по-добре материала по компютърни науки и да подобрите знанията си.
Благодарение на IDZ 3.1 версия 10 от Ryabushko A.P., можете лесно да се подготвите за изпит или тест по компютърни науки.
Решаването на задачи в IPD 3.1 версия 10 ще ви помогне да консолидирате теоретичния материал и да запомните по-добре ключови концепции.
IDS 3.1 версия 10 се различава от другите продукти за цифрова компютърна наука по своята достъпност и разбираемост.
Този продукт е идеален за тези, които учат компютърни науки сами или се нуждаят от допълнителна помощ при обучението си.
Рябушко А.П. IDS 3.1 версия 10 е надежден и доказан източник на информация за компютърни науки.