Ryabushko A.P. IDZ 3.1 10-es verzió

IDZ - 3.1 No. 1.10. Adott négy pont A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Egyenleteket kell létrehozni:

a) az A1A2A3 sík egyenlete; b) az A1A2 egyenes egyenlete; c) az A1A2A3 síkra merőleges A4M egyenes egyenlete; d) az A1A2 egyenessel párhuzamos A3N egyenes egyenlete; e) az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenlete; f) számítsa ki az A1A4 egyenes és az A1A2A3 sík közötti szög szinuszát; g) számítsa ki az Oxy koordinátasík és az A1A2A3 sík közötti szög koszinuszát!

Válasz:

a) Az A1A2A3 sík egyenletének összeállításához meg kell találni a $\vec{A_1A_2}$ és $\vec{A_1A_3}$ vektorok vektorszorzatát:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Így az A1A2A3 sík egyenlete a következőképpen alakul:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Az A1 pont koordinátáit behelyettesítve megkapjuk a d állandó értékét:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Jobbra \quad d = 55 $$

Így az A1A2A3 sík egyenlete:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) Az A1A2 egyenes egyenlete felírható parametrikus formában:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t $$

d) Az A3N egyenes egyenlete felírható parametrikus formában:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenlete a következő:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

ahol $\vec{n}$ az A1 és A2 pontokon átmenő egyenes irányvektora, egyenlő

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Ekkor a kívánt sík egyenlete a következőképpen alakul:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Az A4 pont koordinátáit behelyettesítve megkapjuk a d állandó értékét:

$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Jobbra \quad d = -16 $$

Így az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenlete:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Az A1A4 egyenes és az A1A2A3 sík közötti szög szinuszának kiszámításához meg kell találni a $\vec{A_1A_4}$ vektor vetületét az A1A2A3 síkra normálvektorra:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \körülbelül 0,919 $$

g) Az Oxy koordinátasík és az A1A2A3 sík közötti szög koszinuszának kiszámításához meg kell találni ezen síkok normálvektorai közötti szöget:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \körülbelül 0,784 $$

2.10. Írja fel a sík egyenletét „szakaszokban”, ha átmegy az M(6;-10;1) ponton, és levágja az a=–3 szakaszt az Ox tengelyen; az Óz tengelyen - c=2 szakasz.

Válasz:

A sík áthalad az M(6;-10;1) ponton, így az egyenlete a következő:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Az Ox tengelyen a sík által levágott szakasz hossza 3, tehát a sík Ox-szel való metszéspontjai 3 távolságra vannak egymástól. Így ezeknek a pontoknak a koordinátái -3 és 0. Hasonlóan a sík Óz-szel való metszéspontjai is 2 távolságra vannak egymástól, tehát koordinátáik 0 és 2.

Így a sík egyenlete a „szegmensekben” a következőképpen alakul:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

3.10. Mekkora A értékénél párhuzamos az (1;2;3) és (4) pontokon átmenő egyenessel az Ax + 3y– 5z + 1 = 0 sík;

A "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 10-es verzió" digitális termék egy oktatási és módszertani komplexum, amelyet azoknak a diákoknak szántak, akik tantervük részeként lineáris algebrát és geometriát tanulnak. A komplexum megoldásokat tartalmaz a 10. lehetőségben megfogalmazott "Síkok és egyenesek egyenletei a térben" témakörben.

A komplexum elektronikus dokumentum formájában kerül bemutatásra, amely letölthető a digitális áruk boltjából. A dokumentum gyönyörű HTML formátumban készült, amely kényelmes és vonzó vizuális felületet biztosít a felhasználó számára.

A komplexum részletes megoldásokat kínál olyan problémákra, amelyek segítségével a hallgatók könnyedén elsajátíthatják a témát, és növelhetik tudásszintjüket a lineáris algebra és geometria területén. A problémamegoldásokat lépésről lépésre történő magyarázatok és grafikus illusztrációk kísérik, ami érthetőbbé és vizuálisabbá teszi a téma tanulmányozását.

A "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10" digitális termék nélkülözhetetlen asszisztens azoknak a diákoknak, akik lineáris algebrát és geometriát tanulnak, valamint azoknak a tanároknak, akik kiegészítő oktatási anyagként használhatják.

Ahhoz, hogy a sík párhuzamos legyen az M(x₀;y₀;z₀) ponton átmenő egyenessel, és $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$ irányvektora legyen, szükséges, hogy a normál a sík vektora merőleges legyen az egyenes irányvektorára. A sík normálvektorának koordinátái vannak (A; 3; -5). Így a sík egyenessel párhuzamos feltétele a következőképpen írható: $$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$ Adjuk meg az A-t ebből az egyenletből:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Így a sík párhuzamos lesz egy adott egyenessel, amelynek A értéke $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. Az IDZ 3.1 10-es verziója egy matematikai feladat, amely számos feladatot tartalmaz a térbeli egyenesek és síkok egyenleteinek megalkotására, valamint a köztük lévő szögek kiszámítására. A feladat négy pontot kap a térben, és meg kell alkotnia a sík egyenleteit, az egyeneseket, ki kell számítania a szögeket és meg kell találnia a változók értékét a sík egyenletében. A végén elérhető egy kapcsolattartó személy, ha bármilyen kérdése van.

***

1. Ryabushko A.P. Az IDZ 3.1 10-es verziója kiváló digitális termék diákok és középiskolások számára.
2. Ez az IDL segít jobban megérteni a számítástechnikai anyagokat és javítani tudását.
3. A Ryabushko A.P. IDZ 3.1 10-es verziójának köszönhetően könnyedén felkészülhet egy számítástechnikai vizsgára vagy tesztre.
4. Az IPD 3.1 10-es verziójában található problémák megoldása segít az elméleti anyagok megszilárdításában és a kulcsfogalmak jobb emlékezésében.
5. Az IDS 3.1 10-es verziója elérhetőségében és érthetőségében különbözik a többi digitális számítástechnikai terméktől.
6. Ez a termék tökéletes azok számára, akik önállóan tanulják az informatikát, vagy további segítségre van szükségük tanulmányaikhoz.
7. Ryabushko A.P. Az IDS 3.1 10-es verziója megbízható és bevált információforrás a számítástechnikával kapcsolatban.

Sajátosságok:

IDZ 3.1 opció 10 Ryabushko A.P. - egy nagyszerű digitális termék a diákok számára.

Az IDZ 3.1 ezen verziója segített jobban megérteni az anyagot.

Munkafüzet IDZ 3.1 10. lehetőség Ryabushko A.P. hasznos feladatokat tartalmaz.

Nagyon sok új ismeretet szereztem az IDZ 3.1 opció 10 Ryabushko A.P.-nek köszönhetően.

Az IDZ 3.1 10. opció kényelmes formátuma Ryabushko A.P. lehetővé tette a feladatok gyors és egyszerű elvégzését.

IDZ 3.1 opció 10 Ryabushko A.P. - Kiváló választás önálló munkához.

Az IDZ 3.1 10. opció költsége Ryabushko A.P. teljes mértékben megfelel a minőségének és hasznosságának.