Condensateur sphérique formé de sphères de rayons

Un condensateur sphérique est constitué de deux sphères de rayon R1=4 cm et R2=6 cm, qui ont été chargées à une tension de 1 kV puis déconnectées de la source. On suppose qu'un point est situé à une distance de 5 cm du centre des sphères. Il est nécessaire de déterminer dans quelle mesure le potentiel de ce point changera si le rayon de la sphère extérieure augmente jusqu'à R3 = 10 cm, à condition que la sphère extérieure soit mise à la terre.

Vous devez d’abord déterminer la capacité du condensateur. La capacité d'un condensateur sphérique peut être trouvée à l'aide de la formule :

C = 4πε₀ ((R₁R₂)/(R₂-R₁))

où ε₀ est la constante électrique, R₁ et R₂ sont respectivement les rayons des sphères intérieure et extérieure.

En remplaçant les valeurs connues, on obtient :

C = 4πε₀ ((4cm×6cm)/(6cm-4cm)) = 1,69·10⁻¹⁰ F

La charge sur chaque sphère peut être trouvée à l'aide de la formule :

Q = CU

où U est la tension aux bornes du condensateur.

En remplaçant les valeurs connues, on obtient :

Q₁ = C·U = 1,69·10⁻¹⁰·1000 = 1,69·10⁻⁷ Кл Q₂ = C·U = 1,69·10⁻¹⁰·1000 = 1,69·10⁻⁷ Кл

La charge sur la sphère extérieure est nulle puisqu’elle est reliée à la terre.

Pour déterminer le potentiel d'un point à une distance de 5 cm du centre des sphères, vous devez utiliser la formule du potentiel d'une charge ponctuelle :

V = kQ/r

où k est le coefficient de proportionnalité, r est la distance du point à la charge.

Le potentiel d'un point situé à une distance de 5 cm du centre des sphères par rapport aux charges est dans un condensateur de capacité C et de charge Q₁+Q₂. Ainsi, le potentiel d’un point peut être trouvé comme la somme des potentiels créés par les charges sur chaque sphère et du potentiel créé par la sphère externe mise à la terre. Selon le principe de superposition :

V = k(Q₁+Q₂)/r₁ + k(0)/r₂

où r₁ est la distance du point au centre de la sphère intérieure, r₂ est la distance du point au centre de la sphère extérieure.

En remplaçant les valeurs connues, on obtient :

V = k(1,69·10⁻⁷)/(0,05) + k(0)/(0,1) = 2,71 V

Il faut maintenant trouver la capacité du condensateur après avoir augmenté le rayon de la sphère extérieure à R3=10 cm. La capacité d'un condensateur sphérique peut être trouvée à l'aide de la formule :

C' = 4πε₀ ((R₁R₃)/(R₃-R₁))

En remplaçant les valeurs connues, on obtient :

C' = 4πε₀ ((4cm×10cm)/(10cm-4cm)) = 3,38·10⁻¹⁰ F

La charge sur chaque sphère restera inchangée puisqu'elles sont déconnectées de la source. Par conséquent, la charge sur la sphère intérieure restera égale à Q₁=1,69·10⁻⁷ C, et la charge sur la sphère extérieure restera égale à zéro.

Pour déterminer le nouveau potentiel d'un point situé à 5 cm du centre des sphères, il faut utiliser la même formule :

V' = k(Q₁+Q₂)/r₁' + k(0)/r₂'

où r₁' est la nouvelle distance du point au centre de la sphère intérieure, r₂' est la nouvelle distance du point au centre de la sphère extérieure.

La nouvelle distance du point au centre de la sphère intérieure peut être trouvée grâce au théorème de Pythagore :

r₁' = √(r₁² + (R₃-R₂)²) = √(0,05² + (10 cm-6 cm)²) = 0,61 cm

La nouvelle distance du point au centre de la sphère extérieure peut également être trouvée grâce au théorème de Pythagore :

r₂' = √(r₂² + (R₃-R₂)²) = √(0,1² + (10 cm-6 cm)²) = 0,77 cm

En remplaçant les valeurs connues, on obtient :

V' = k(1,69·10⁻⁷)/(0,61) + k(0)/(0,77) = 2,15 V

La variation du potentiel d’un point peut être trouvée comme la différence entre le nouveau et l’ancien potentiel :

ΔV = V' - V = 2,15 В - 2,71 В = -0,56 В

Ainsi, le potentiel d'un point situé à 5 cm du centre des sphères diminuera de 0,56 V lorsque le rayon de la sphère extérieure sera augmenté à 10 cm et que cette sphère sera mise à la terre.

Description du produit : condensateur sphérique

Ce produit numérique est une description d'un condensateur sphérique formé de deux sphères de rayons :

• R1=4 cm
• R2=6 cm

Le condensateur est chargé à une tension de 1 kV et déconnecté de la source. La distance entre le centre des sphères et le point auquel le potentiel est déterminé est de 5 cm. La sphère extérieure est mise à la terre.

Dans cette description, vous trouverez une solution détaillée au problème 30346, qui comprend un bref enregistrement des conditions, formules et lois utilisées dans la solution, une dérivation de la formule de calcul et une réponse au problème.

Si vous avez des questions sur la résolution du problème, n'hésitez pas à nous contacter. Nous sommes toujours heureux d'aider!

Description du produit : condensateur sphérique

Ce produit est une description d'un condensateur sphérique formé de deux sphères de rayons R1=4cm et R2=6cm. Le condensateur est chargé à une tension de 1 kV et déconnecté de la source. La distance entre le centre des sphères et le point auquel le potentiel est déterminé est de 5 cm. La sphère extérieure est mise à la terre.

Dans cette description vous trouverez une solution détaillée au problème 30346, qui consiste à déterminer la variation du potentiel d'un point lorsque le rayon de la sphère extérieure augmente jusqu'à R3 = 10 cm, à condition que la sphère extérieure soit mise à la terre. La solution utilise les formules et lois appropriées, fournit des calculs et obtient une réponse au problème.

Si vous avez des questions sur la résolution du problème ou sur les condensateurs sphériques en général, n'hésitez pas à nous contacter. Nous sommes toujours heureux d'aider!

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Un condensateur sphérique, formé de deux sphères de rayons R1=4cm et R2=6cm, est conçu pour stocker une charge électrique. Le condensateur est chargé à une tension de 1 kV et déconnecté de la source.

Pour résoudre le problème, on nous dit qu'à une distance de 5 cm du centre des sphères, il y a un point auquel nous devons déterminer le changement de potentiel si le rayon de la sphère extérieure augmente jusqu'à R3 = 10 cm. La sphère extérieure est ancrée.

Pour calculer la variation de potentiel en un point situé à une distance de 5 cm du centre de la sphère, vous pouvez utiliser la loi de Coulomb, qui stipule que le champ électrique E en un point situé à une distance r du centre d'une sphère chargée de charge Q de rayon R est égal à : E = Q/(4πε0r^2)

Ici ε0 est la constante diélectrique.

Pour calculer la variation de potentiel en un point, vous pouvez utiliser la formule : ΔV = - ∫E dl

Ici, l'intégrale est parcourue le long de n'importe quel chemin reliant les points de départ et d'arrivée.

Vous pouvez également utiliser la formule pour calculer la charge sur les sphères : Q = 4πε0R·ΔV

Ici R est le rayon de la sphère sur laquelle la charge est calculée.

Tâches de solution :

Charge initiale sur le condensateur : Q1 = C U = (4πε0R1R2)/(R2-R1) U = (4πε0 4cm 6cm)/(6cm-4cm) 1000V = 100πε0μC

Chargez sur la sphère extérieure après avoir augmenté le rayon : Q3 = 4πε0R3 ΔV

Changement de potentiel en un point situé à 5 cm du centre de la sphère : ΔV = - ∫E dl

Pour calculer le champ E à une distance de 5 cm du centre de la sphère, vous pouvez utiliser la formule : E = Q/(4πε0r^2)

Pour calculer la charge sur la sphère extérieure, vous pouvez utiliser la loi de conservation de la charge : Q1 + Q2 = Q3

Alors la charge sur la sphère intérieure est : Q2 = Q3 - Q1 = 4πε0(R3-R1)(R3+R1)/(R3-R1) ΔV = 4πε0(R3+R1) ΔV

Ainsi, la variation totale de potentiel en un point situé à une distance de 5 cm du centre de la sphère avec une augmentation du rayon de la sphère extérieure de R2 à R3 sera égale à : ΔV = - ∫E dl = - E 2πr = - Q2/(4πε0r) = -(R3+R1) ΔV/r

En remplaçant les valeurs numériques, on obtient : ΔV = - (10 cm + 4 cm) 1000 V/5 cm = - 2800 V

Réponse : La variation du potentiel d'un point situé à une distance de 5 cm du centre des sphères, avec une augmentation du rayon de la sphère extérieure de R2 = 6 cm à R3 = 10 cm, sera de -2800 V .

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