Capacitor esférico formado por esferas de raios

Um capacitor esférico consiste em duas esferas com raios R1=4cm e R2=6cm, que foram carregadas com uma tensão de 1 kV e depois desconectadas da fonte. Supõe-se que um ponto esteja localizado a uma distância de 5 cm do centro das esferas. É necessário determinar quanto o potencial deste ponto mudará se o raio da esfera externa aumentar para R3 = 10 cm, desde que a esfera externa esteja aterrada.

Primeiro você precisa determinar a capacitância do capacitor. A capacitância de um capacitor esférico pode ser encontrada usando a fórmula:

C = 4πε₀ ((R₁R₂)/(R₂-R₁))

onde ε₀ é a constante elétrica, R₁ e R₂ são os raios das esferas interna e externa, respectivamente.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

C = 4πε₀ ((4cm×6cm)/(6cm-4cm)) = 1,69·10⁻¹⁰ F

A carga em cada esfera pode ser encontrada usando a fórmula:

Q = UC

onde U é a tensão no capacitor.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

Q₁ = C·U = 1,69·10⁻¹⁰·1000 = 1,69·10⁻⁷ Кл Q₂ = C·U = 1,69·10⁻¹⁰·1000 = 1,69·10⁻⁷ Кл

A carga na esfera externa é zero, pois está aterrada.

Para determinar o potencial de um ponto a uma distância de 5 cm do centro das esferas, deve-se usar a fórmula do potencial de uma carga pontual:

V = kQ/r

onde k é o coeficiente de proporcionalidade, r é a distância do ponto à carga.

O potencial de um ponto a uma distância de 5 cm do centro das esferas até as cargas está em um capacitor com capacitância C e carga Q₁+Q₂. Assim, o potencial de um ponto pode ser encontrado como a soma dos potenciais criados pelas cargas de cada esfera e o potencial criado pela esfera externa aterrada. De acordo com o princípio da superposição:

V = k(Q₁+Q₂)/r₁ + k(0)/r₂

onde r₁ é a distância do ponto ao centro da esfera interna, r₂ é a distância do ponto ao centro da esfera externa.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

V = k(1,69·10⁻⁷)/(0,05) + k(0)/(0,1) = 2,71 V

Agora é necessário encontrar a capacitância do capacitor após aumentar o raio da esfera externa para R3=10cm. A capacitância de um capacitor esférico pode ser encontrada usando a fórmula:

C' = 4πε₀ ((R₁R₃)/(R₃-R₁))

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

C' = 4πε₀ ((4cm×10cm)/(10cm-4cm)) = 3,38·10⁻¹⁰ F

A carga em cada esfera permanecerá inalterada, uma vez que estão desconectadas da fonte. Consequentemente, a carga na esfera interna permanecerá igual a Q₁=1,69·10⁻⁷ C, e a carga na esfera externa permanecerá igual a zero.

Para determinar o novo potencial de um ponto a uma distância de 5 cm do centro das esferas, deve-se usar a mesma fórmula:

V' = k(Q₁+Q₂)/r₁' + k(0)/r₂'

onde r₁' é a nova distância do ponto ao centro da esfera interna, r₂' é a nova distância do ponto ao centro da esfera externa.

A nova distância do ponto ao centro da esfera interna pode ser encontrada através do teorema de Pitágoras:

r₁' = √(r₁² + (R₃-R₂)²) = √(0,05² + (10cm-6cm)²) = 0,61 cm

A nova distância do ponto ao centro da esfera externa também pode ser encontrada através do teorema de Pitágoras:

r₂' = √(r₂² + (R₃-R₂)²) = √(0,1² + (10cm-6cm)²) = 0,77 cm

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

V' = k(1,69·10⁻⁷)/(0,61) + k(0)/(0,77) = 2,15 V

A mudança no potencial de um ponto pode ser encontrada como a diferença entre os potenciais novos e antigos:

ΔV = V' - V = 2,15 Â - 2,71 Â = -0,56 Â

Assim, o potencial de um ponto a uma distância de 5 cm do centro das esferas diminuirá em 0,56 V quando o raio da esfera externa for aumentado para 10 cm e esta esfera for aterrada.

Descrição do produto: capacitor esférico

Este produto digital é a descrição de um capacitor esférico formado por duas esferas com raios:

• R1=4cm
• R2=6cm

O capacitor é carregado com uma tensão de 1 kV e desconectado da fonte. A distância do centro das esferas até o ponto em que o potencial é determinado é de 5 cm e a esfera externa está aterrada.

Nesta descrição você encontrará uma solução detalhada para o problema 30346, que inclui um breve registro das condições, fórmulas e leis utilizadas na solução, uma derivação da fórmula de cálculo e uma resposta ao problema.

Se você tiver alguma dúvida sobre como resolver o problema, não hesite em nos contatar. Nós estamos sempre felizes em ajudar!

Descrição do produto: capacitor esférico

Este produto é a descrição de um capacitor esférico formado por duas esferas com raios R1=4cm e R2=6cm. O capacitor é carregado com uma tensão de 1 kV e desconectado da fonte. A distância do centro das esferas até o ponto em que o potencial é determinado é de 5 cm e a esfera externa está aterrada.

Nesta descrição você encontrará uma solução detalhada para o problema 30346, que consiste em determinar a variação do potencial de um ponto quando o raio da esfera externa aumenta para R3 = 10 cm, desde que a esfera externa esteja aterrada. A solução utiliza fórmulas e leis apropriadas, fornece cálculos e obtém uma resposta para o problema.

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Um capacitor esférico, formado por duas esferas com raios R1=4cm e R2=6cm, é projetado para armazenar uma carga elétrica. O capacitor é carregado com uma tensão de 1 kV e desconectado da fonte.

Para resolver o problema, temos que a uma distância de 5 cm do centro das esferas existe um ponto no qual precisamos determinar a variação do potencial se o raio da esfera externa aumentar para R3 = 10 cm. A esfera externa está aterrada.

Para calcular a variação do potencial em um ponto a uma distância de 5 cm do centro da esfera, pode-se usar a lei de Coulomb, que afirma que o campo elétrico E em um ponto localizado a uma distância r do centro de uma esfera carregada com carga Q de raio R é igual a: E = Q/(4πε0r^2)

Aqui ε0 é a constante dielétrica.

Para calcular a mudança no potencial em um ponto, você pode usar a fórmula: ΔV = - ∫E dl

Aqui a integral é obtida ao longo de qualquer caminho conectando os pontos inicial e final.

Você também pode usar a fórmula para calcular a carga nas esferas: Q = 4πε0R·ΔV

Aqui R é o raio da esfera na qual a carga é calculada.

Tarefas de solução:

Carga inicial no capacitor: Q1 = C U = (4πε0R1R2)/(R2-R1) U = (4πε0 4cm 6cm)/(6cm-4cm) 1000V = 100πε0μC

Carregue na esfera externa após aumentar o raio: Q3 = 4πε0R3ΔV

Mudança no potencial em um ponto a 5 cm do centro da esfera: ΔV = - ∫E dl

Para calcular o campo E a uma distância de 5 cm do centro da esfera, pode-se usar a fórmula: E = Q/(4πε0r^2)

Para calcular a carga na esfera externa, você pode usar a lei da conservação da carga: Q1 + Q2 = Q3

Então a carga da esfera interna é: Q2 = Q3 - Q1 = 4πε0(R3-R1)(R3+R1)/(R3-R1) ΔV = 4πε0(R3+R1) ΔV

Assim, a mudança total de potencial em um ponto a uma distância de 5 cm do centro da esfera com um aumento no raio da esfera externa de R2 para R3 será igual a: ΔV = - ∫E dl = - E 2πr = - Q2/(4πε0r) = -(R3+R1) ΔV/r

Substituindo valores numéricos, obtemos: ΔV = - (10cm+4cm) 1000V/5cm = - 2800V

Resposta: A mudança no potencial de um ponto localizado a uma distância de 5 cm do centro das esferas, com um aumento no raio da esfera externa de R2 = 6 cm para R3 = 10 cm, será de -2800 V .

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