Ryabushko A.P. IDZ3.1 option 22

IDZ-3.1 №1.22

Étant donné quatre points A1(4;2;10); A2(1;2;0); A3(3;5;7); A4(2;–3;5).

Composez des équations :

1. avions A1A2A3 ;
2. droit A1A2;
3. droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ;
4. droite A3N parallèle à la droite A1A2 ;
5. plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la ligne A1A2 ;

Calculer:

1. sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ;
2. cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

a) Trouvez les vecteurs A1A2 et A1A3 :

A1A2 = (1-4 ; 2-2 ; 0-10) = (-3 ;0 ;-10)

A1A3 = (3-4 ; 5-2 ; 7-10) = (-1 ;3 ;-3)

Trouvons le produit vectoriel de ces vecteurs :

n = A1A2 x A1A3 = (-30;-24;6)

Équation plane :

-30x - 24y + 6z + d = 0

Remplaçons les coordonnées du point A1 :

-30·4 - 24·2 + 6·10 + d = 0

d = 72

Réponse : -30x - 24y + 6z + 72 = 0.

b) Vecteur linéaire A1A2 :

A1A2 = (-3;0;-10)

Équation d'une droite :

x = 4-3t

y = 2

z = 10 - 10t

Réponse : x = 4-3t, y = 2, z = 10 - 10t.

c) Vecteur ligne A4M :

A4M = (2-2; -3-3; 5+1) = (0;-6;6)

Perpendiculaire au plan A1A2A3 :

n = (-30;-24;6)

Équation d'une droite :

x = 2

y = -3-6t

z = 5+6t

Réponse : x = 2, y = -3-6t, z = 5+6t.

d) Vecteur linéaire A1A2 :

A1A2 = (-3;0;-10)

Équation d'une droite :

x = 4 - 3t

y = 2

z = 10 - 10t

Vecteur direct A3N :

А3N = (3-4 ; 5-2 ; 7-7) = (-1;3;0)

Équation d'une droite :

x = 4 - t

y = 2 + 3t

z = 10 - 10t

Réponse : x = 4 - t, y = 2 + 3t, ​​​​z =10 - 10t.

e) Trouvez le vecteur de la droite A1A2 :

A1A2 = (-3;0;-10)

Vecteur normal au plan :

n = (-30;-24;6)

Équation plane :

-30x - 24y + 6z + d = 0

Remplaçons les coordonnées du point A4 :

-30·2 - 24·(-3) + 6·5 + d = 0

d = -12

Réponse : -30x - 24y + 6z - 12 = 0.

f) Vecteur linéaire A1A4 :

A1A4 = (-2; -5; -5)

Vecteur normal au plan A1A2A3 :

n = (-30;-24;6)

Angle entre les vecteurs :

péché α = |n·А1А4| / (|n|·|А1А4|) = |-30·(-2) - 24·(-5) + 6·(-5)| / (√(302+242+62) · √((-2)2+(-5)2+(-5)2)) = 24/3

Réponse : sin α = 24/35.

g) Vecteur normal au plan A1A2A3 :

n = (-30;-24;6)

Coordonnées du vecteur normal au plan Oxy :

n₀ = (0;0;1)

Angle entre les vecteurs :

cos α = |n·n₀| / (|n|·|n₀|) = |6| / (√(30²+24²+6²) · 1) = 1/35

Réponse : cos α = 1/35.

№2.22

Écrire une équation pour un plan passant par le point M(2;3;–1) et la droite x=t–3 ; y=2t+5; z=–3t + 1.

Vecteur de direction droite :

une = (1;2;-3)

Le deuxième vecteur situé dans le plan :

b = (1;2;0)

Vecteur normal au plan :

n = une x b = (6;-3;-4)

Équation plane :

6(x-2) - 3(y-3) - 4(z+1) = 0

Réponse : 6x - 3y - 4z - 8 = 0.

№3.22

Trouvez le point d'intersection de la droite (x-7)/5 = (y-1)/1 = (z-5)/4 et du plan 3x–y+2z–8=0.

Équation d'une droite :

x-7 = 5t

y-1 = t

z-5 = 4t

Remplaçons le plan dans l'équation :

3(5t+7) - (t+1) + 2(4t+5) - 8 = 0

23t = -20

t = -20/23

Point d'intersection:

x = -3/23

y = -20/23

z = 12/23

Réponse : (-3/23 ; -20/23 ; 12/23).

Merci pour

Le produit numérique "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 22" est un ensemble de solutions aux problèmes de géométrie créés par l'auteur A.P. Ryabushko. La collection comprend des solutions à des problèmes qui aideront les étudiants à approfondir leurs connaissances dans le domaine de la géométrie et à réussir les examens.

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A) Équation du plan A1A2A3 : -30x - 24y + 6z + 72 = 0.

B) Équation de la droite A1A2 : x = 4 - 3t, y = 2, z = 10 - 10t.

B) Équation de la droite A4M : x = 2, y = -3-6t, z = 5+6t.

Perpendiculaire au plan A1A2A3 a un vecteur directeur (-30, -24, 6).

D) Équation de la droite A3N : x = 4 - t, y = 2 + 3t, ​​​​z = 10 - 10t.

La ligne parallèle A1A2 a un vecteur directeur (-3, 0, -10).

E) Équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 : -30x - 24y + 6z - 12 = 0.

E) Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 : sin α = 24/35.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 22 est une tâche de formation composée de trois nombres.

Dans le premier numéro, quatre points sont donnés dans un espace tridimensionnel, et vous devez créer des équations pour le plan et les lignes droites, ainsi que calculer le sinus et le cosinus des angles entre certains d'entre eux.

Dans le deuxième numéro, vous devez créer une équation pour un plan passant par un point donné et une droite définie paramétriquement.

Dans le troisième nombre, vous devez trouver le point d'intersection d'une ligne donnée et d'un plan.

Après avoir terminé la tâche, si vous avez des questions, vous pouvez contacter le vendeur à l'adresse e-mail indiquée.

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