Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 22

IDZ - 3.1 №1.22

Gegeben seien vier Punkte A1(4;2;10); A2(1;2;0); A3(3;5;7); A4(2;–3;5).

Bilden Sie Gleichungen:

1. Flugzeuge A1A2A3;
2. gerade A1A2;
3. Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3;
4. Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2;
5. Ebene, die durch Punkt A4 geht und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft;

Berechnung:

1. Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3;
2. Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

a) Finden Sie die Vektoren A1A2 und A1A3:

A1A2 = (1-4; 2-2; 0-10) = (-3;0;-10)

A1A3 = (3-4; 5-2; 7-10) = (-1;3;-3)

Finden wir das Vektorprodukt dieser Vektoren:

n = A1A2 x A1A3 = (-30;-24;6)

Ebenengleichung:

-30x - 24y + 6z + d = 0

Ersetzen wir die Koordinaten von Punkt A1:

-30·4 - 24·2 + 6·10 + d = 0

d = 72

Antwort: -30x - 24y + 6z + 72 = 0.

b) Linienvektor A1A2:

A1A2 = (-3;0;-10)

Gleichung einer Geraden:

x = 4 - 3t

y = 2

z = 10 - 10t

Antwort: x = 4 - 3t, y = 2, z = 10 - 10t.

c) Linienvektor A4M:

A4M = (2-2; -3-3; 5+1) = (0;-6;6)

Senkrecht zur Ebene A1A2A3:

n = (-30;-24;6)

Gleichung einer Geraden:

x = 2

y = -3-6t

z = 5+6t

Antwort: x = 2, y = -3-6t, z = 5+6t.

d) Direkter Vektor A1A2:

A1A2 = (-3;0;-10)

Gleichung einer Geraden:

x = 4 - 3t

y = 2

z = 10 - 10t

Direkter Vektor A3N:

À3N = (3-4; 5-2; 7-7) = (-1;3;0)

Gleichung einer Geraden:

x = 4 - t

y = 2 + 3t

z = 10 - 10t

Antwort: x = 4 – t, y = 2 + 3t, ​​​​z =10 – 10t.

e) Finden Sie den Vektor der Linie A1A2:

A1A2 = (-3;0;-10)

Normalenvektor zur Ebene:

n = (-30;-24;6)

Ebenengleichung:

-30x - 24y + 6z + d = 0

Ersetzen wir die Koordinaten von Punkt A4:

-30·2 - 24·(-3) + 6·5 + d = 0

d = -12

Antwort: -30x - 24y + 6z - 12 = 0.

f) Linienvektor A1A4:

A1A4 = (-2; -5; -5)

Normalenvektor zur Ebene A1A2A3:

n = (-30;-24;6)

Winkel zwischen Vektoren:

sin α = |n·À1À4| / (|n|·|À1À4|) = |-30·(-2) - 24·(-5) + 6·(-5)| / (√(302+242+62) · √((-2)2+(-5)2+(-5)2)) = 24/3

Antwort: sin α = 24/35.

g) Normalenvektor zur Ebene A1A2A3:

n = (-30;-24;6)

Koordinaten des Normalenvektors zur Oxy-Ebene:

n₀ = (0;0;1)

Winkel zwischen Vektoren:

cos α = |n·n₀| / (|n|·|n₀|) = |6| / (√(30²+24²+6²) · 1) = 1/35

Antwort: cos α = 1/35.

№2.22

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt M(2;3;–1) und die Gerade x=t–3 verläuft; y=2t+5; z=–3t + 1.

Gerader Richtungsvektor:

a = (1;2;-3)

Der zweite in der Ebene liegende Vektor:

b = (1;2;0)

Normalenvektor zur Ebene:

n = a x b = (6;-3;-4)

Ebenengleichung:

6(x-2) - 3(y-3) - 4(z+1) = 0

Antwort: 6x - 3y - 4z - 8 = 0.

№3.22

Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden (x-7)/5 = (y-1)/1 = (z-5)/4 und der Ebene 3x–y+2z–8=0.

Gleichung einer Geraden:

x-7 = 5t

y-1 = t

z-5 = 4t

Setzen wir die Ebene in die Gleichung ein:

3(5t+7) - (t+1) + 2(4t+5) - 8 = 0

23t = -20

t = -20/23

Schnittpunkt:

x = -3/23

y = -20/23

z = 12/23

Antwort: (-3/23; -20/23; 12/23).

Vielen Dank für

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A) Gleichung der Ebene A1A2A3: -30x - 24y + 6z + 72 = 0.

B) Gleichung der Geraden A1A2: x = 4 - 3t, y = 2, z = 10 - 10t.

B) Gleichung der Geraden A4M: x = 2, y = -3-6t, z = 5+6t.

Senkrecht zur Ebene A1A2A3 hat einen Richtungsvektor (-30, -24, 6).

D) Gleichung der Geraden A3N: x = 4 – t, y = 2 + 3t, ​​​​z = 10 – 10t.

Die parallele Linie A1A2 hat einen Richtungsvektor (-3, 0, -10).

E) Gleichung einer Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft: -30x - 24y + 6z - 12 = 0.

E) Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3: sin α = 24/35.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 22 ist eine Trainingsaufgabe, die aus drei Zahlen besteht.

In der ersten Ausgabe werden vier Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben, und Sie müssen Gleichungen für die Ebene und die Geraden erstellen sowie den Sinus und Cosinus der Winkel zwischen einigen von ihnen berechnen.

In der zweiten Ausgabe müssen Sie eine Gleichung für eine Ebene erstellen, die durch einen bestimmten Punkt und eine parametrisch definierte Linie verläuft.

In der dritten Zahl müssen Sie den Schnittpunkt einer bestimmten Geraden und einer Ebene ermitteln.

Wenn Sie nach Abschluss der Aufgabe Fragen haben, können Sie den Verkäufer unter der angegebenen E-Mail-Adresse kontaktieren.

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