リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 オプション 22

IDZ - 3.1 №1.22

4 つの点 A1(4;2;10) が与えられるとします。 A2(1;2;0); A3(3;5;7); A4(2;–3;5)。

方程式を作成します。

1. 平面A1A2A3。
2. ストレートA1A2。
3. 直線A4M、平面A1A2A3に垂直。
4. 直線Ａ１Ａ２と平行な直線Ａ３Ｎ。
5. 点A4を通り、線A1A2に垂直な平面。

計算します:

1. 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。
2. 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

a) ベクトル A1A2 と A1A3 を見つけます。

A1A2 = (1-4; 2-2; 0-10) = (-3;0;-10)

A1A3 = (3-4; 5-2; 7-10) = (-1;3;-3)

これらのベクトルのベクトル積を求めてみましょう。

n = A1A2 x A1A3 = (-30;-24;6)

平面方程式:

-30x - 24y + 6z + d = 0

点 A1 の座標を代入してみましょう。

-30・4 - 24・2 + 6・10 + d = 0

d = 72

答え: -30x - 24y + 6z + 72 = 0。

b) 線ベクトル A1A2:

A1A2 = (-3;0;-10)

直線の方程式:

x = 4 - 3t

y = 2

z = 10 - 10t

答え: x = 4 - 3t、y = 2、z = 10 - 10t。

c) ラインベクトル A4M:

A4M = (2-2; -3-3; 5+1) = (0;-6;6)

平面 A1A2A3 に垂直:

n = (-30;-24;6)

直線の方程式:

x = 2

y = -3-6t

z = 5+6t

答え: x = 2、y = -3-6t、z = 5+6t。

d) 線ベクトル A1A2:

A1A2 = (-3;0;-10)

直線の方程式:

x = 4 - 3t

y = 2

z = 10 - 10t

ダイレクトベクトル A3N:

-3N = (3-4; 5-2; 7-7) = (-1;3;0)

直線の方程式:

x = 4 - t

y = 2 + 3t

z = 10 - 10t

答え: x = 4 - t、y = 2 + 3t、z =10 - 10t。

e) 直線 A1A2 のベクトルを見つけます。

A1A2 = (-3;0;-10)

平面に対する法線ベクトル:

n = (-30;-24;6)

平面方程式:

-30x - 24y + 6z + d = 0

点 A4 の座標を代入してみましょう。

-30・2 - 24・(-3) + 6・5 + d = 0

d = -12

答え: -30x - 24y + 6z - 12 = 0。

f) 線ベクトル A1A4:

A1A4 = (-2; -5; -5)

平面 A1A2A3 への法線ベクトル:

n = (-30;-24;6)

ベクトル間の角度:

sin α = |n・А1А4| / (|n|・|А1А4|) = |-30・(-2) - 24・(-5) + 6・(-5)| / (√(302+242+62) · √((-2)2+(-5)2+(-5)2)) = 24/3

答え: sin α = 24/35。

g) 平面 A1A2A3 への法線ベクトル:

n = (-30;-24;6)

Oxy 平面に対する法線ベクトルの座標:

n₀ = (0;0;1)

ベクトル間の角度:

cos α = |n・n₀| / (|n|・|n₀|) = |6| / (√(30²+24²+6²) · 1) = 1/35

答え: cos α = 1/35。

№2.22

点 M(2;3;–1) と直線 x=t–3 を通る平面の方程式を書きます。 y=2t+5; z=–3t + 1。

直線方向ベクトル:

a = (1;2;-3)

平面内にある 2 番目のベクトル:

b = (1;2;0)

平面に対する法線ベクトル:

n = a x b = (6;-3;-4)

平面方程式:

6(x-2) - 3(y-3) - 4(z+1) = 0

答え: 6x - 3y - 4z - 8 = 0。

№3.22

直線 (x-7)/5 = (y-1)/1 = (z-5)/4 と平面 3x–y+2z–8=0 の交点を見つけます。

直線の方程式:

x-7 = 5t

y-1 = t

z-5 = 4t

平面を方程式に代入してみましょう。

3(5t+7) - (t+1) + 2(4t+5) - 8 = 0

23t = -20

t = -20/23

交点:

x = -3/23

y = -20/23

z = 12/23

答え: (-3/23; -20/23; 12/23)。

についてありがとうございました

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A) 平面 A1A2A3 の方程式: -30x - 24y + 6z + 72 = 0。

B) 直線 A1A2 の方程式: x = 4 - 3t、y = 2、z = 10 - 10t。

B) 直線の方程式 A4M: x = 2、y = -3-6t、z = 5+6t。

平面に垂直な A1A2A3 の方向ベクトルは (-30、-24、6) です。

D) 直線の方程式 A3N: x = 4 - t、y = 2 + 3t、z = 10 - 10t。

平行線 A1A2 は方向ベクトル (-3、0、-10) を持ちます。

E) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式: -30x - 24y + 6z - 12 = 0。

E) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦: sin α = 24/35。

***

リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 オプション 22 は、3 つの数字で構成されるトレーニング タスクです。

最初の問題では、3 次元空間に 4 つの点が与えられ、平面と直線の方程式を作成し、それらの間の角度のサインとコサインを計算する必要があります。

2 番目の問題では、指定された点とパラメトリックに定義された線を通過する平面の方程式を作成する必要があります。

3 番目の数字では、指定された線と平面の交点を見つける必要があります。

タスクの完了後、ご不明な点がございましたら、指定された電子メール アドレスで販売者にお問い合わせください。

***

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