IDZ Ryabushko 2.2 Option 6

1. Données vectorielles :

   • une(3;-2;1);
   • b(0;2;-3);
   • c(-3;2;-1).

   Nécessaire:

   • a) calculer le produit mixte de trois vecteurs ;
   • b) trouver le module du produit vectoriel ;
   • c) calculer le produit scalaire de deux vecteurs ;
   • d) vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux ;
   • e) vérifier si les trois vecteurs sont coplanaires.

   Répondre:

   • a) Le produit mixte des vecteurs a, b et c est calculé par la formule :

   (une × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ une = (c × une) ⋅ b = une₁(b₂c₃ − b₃c₂) + une₂(b₃c₁ − b₁c₃) + une₃(b₁c₂ − b₂c₁) = 3(2×( -1) - 2×(-3)) - 2(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1(0×2 - 2×(-3)) = -12.

2. b) Le module du produit vectoriel des vecteurs a et b est égal à :

|une × b| = √(a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₃b₁ - a₁b₃)² + (a₁b₂ - a₂b₁)² = √((-2)² + 3² + 6²) = √49 = 7.

c) Le produit scalaire des vecteurs a et b est calculé par la formule :

une ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 3×0 + (-2)×2 + 1×(-3) = -7.

d) Deux vecteurs non nuls seront colinéaires si l'un est multiple de l'autre. Deux vecteurs non nuls seront orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Allons vérifier:

• les vecteurs a et b ne sont pas des multiples, puisque leurs valeurs absolues ne sont pas égales et que leur produit scalaire n'est pas nul ;
• les vecteurs a et c ne sont pas des multiples, puisque leurs valeurs absolues ne sont pas égales et que leur produit scalaire n'est pas nul ;
• les vecteurs b et c ne sont pas des multiples, puisque leurs valeurs absolues ne sont pas égales et que leur produit scalaire n'est pas nul.

Par conséquent, ni deux des trois vecteurs ne sont colinéaires, ni deux vecteurs ne sont orthogonaux.

e) Trois vecteurs seront coplanaires si leur produit mixte est nul. Allons vérifier:

une ⋅ (b × c) = 3×(2×(-1) - 2×(-3)) + (-2)×(0×(-1) - (-3)×(-3)) + 1×(0×2 - 2×(-3)) = -12 ≠ 0.

Les trois vecteurs ne sont donc pas coplanaires.

Les sommets de la pyramide sont situés aux points :

• UNE(3;4;2);
• B(-2;3;-5);
• C(4;–3;6);
• Ré(6; –5; 3).

Répondre:

Pour résoudre le problème, vous devez trouver la hauteur de la pyramide et l'aire de la base.

Trouvons les vecteurs AB, AC et AD :

• AB = B - A = (-2 - 3 ; 3 - 4 ; -5 - 2) = (-5 ; -1 ; -7) ;
• ET = C - A = (4 - 3 ; -3 - 4 ; 6 - 2) = (1 ; -7 ; 4) ;
• AD = D - A = (6 - 3 ; -5 - 4 ; 3 - 2) = (3 ; -9 ; 1).

La hauteur de la pyramide abaissée jusqu'à la base ABCD est égale à la longueur de la projetection du vecteur AD sur la droite passant par les points B et C. Trouvons-la :

• Trouvons le produit vectoriel des vecteurs AB et AC :

AB × AC = (-1×4 - (-7)×1 ; (-7)×1 - (-5)×4 ; (-5)×(-1) - (-1)×(-7) ) = (-11 ; -29 ; -34).

Trouvons le produit vectoriel des vecteurs AB × AC et AC :

(AB × AC) × AC = (-29×4 - (-34)×(-7); (-34)×1 - (-11)×4; (-11)×(-7) - (- 29)×1) = (19 ; 110 ; 208).

Trouvons la projection du vecteur AD sur le vecteur AB × AC :

proj_{AB × AC}AD = (AD ⋅ (AB × AC)) / |AB × AC| = (3×19 - 9×110 + 208) / √(19² + 110² + 208²) ≈ 7,585.

Trouvons maintenant l'aire de la base ABCD. Pour ce faire, on trouve le module du produit vectoriel des vecteurs AB et AC :

|AB × AC| = √((-1)² + (-7)² + 4²) ≈ 7,681.

L'aire de la base est :

S_terrains = |AB × AC| / 2 ≈ 3,840.

Ainsi, la hauteur de la pyramide est d'environ 7,585 et l'aire de la base est d'environ 3,840.

La force F(3;–5;7) est appliquée au point A(2;3;–5). Nécessaire:

• a) calculer le travail de la force dans le cas où le point de son application, se déplaçant rectilignement, se déplace vers le point B(0;4;3) ;
• b) trouver le module du moment de force par rapport au point B.

Répondre:

• a) Le travail effectué par la force F lors du déplacement du point A vers le point B est calculé par la formule :

W = F ⋅ AB = (F, AB) = F₁AB₁ + F₂AB₂ + F₃AB₃ = 3×(-2) + (-5)×1 + 7×8 = 49.

Le travail effectué par la force F est donc de 49.

b) Le moment de force F par rapport au point B est égal au produit vectoriel

Ryabushko IDZ 2.2 Option 6 est un produit numérique qui représente des tâches pour faire ses devoirs en mathématiques. Ce produit contient 10 tâches uniques qui aideront les élèves à consolider et à élargir leurs connaissances dans le domaine des mathématiques.

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IDZ Ryabushko 2.2 Option 6 est une tâche d'algèbre linéaire, qui se compose de trois tâches :

1. Étant donné les vecteurs a(3;-2;1), b(0;2;-3) et c(-3;2;-1). Vous devez procéder comme suit :

   a) Calculez le produit mixte de trois vecteurs. b) Trouvez le module du produit vectoriel. c) Calculez le produit scalaire de deux vecteurs. d) Vérifiez si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux. e) Vérifiez si les trois vecteurs sont coplanaires.

2. Les sommets de la pyramide sont définis par les points A(3;4;2), B(-2;3;-5), C(4;-3;6) et D(6;-5;3). Il faut trouver le volume de cette pyramide.

3. La force F(3;-5;7) est appliquée au point A(2;3;-5). Vous devez procéder comme suit :

   a) Calculer le travail de la force dans le cas où le point de son application, se déplaçant rectilignement, se déplace vers le point B(0;4;3). b) Calculer le module du moment de force par rapport au point B.

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