Sur le bord d'un carrousel en forme de disque pesant 200 kg et

Il y a 5 personnes au bord du carrousel, chacune pesant 60 kg. Le carrousel a la forme d'un disque, pesant 200 kg et rayon 2 m, tournant à une fréquence de 1 tour/s. Pour connaître la fréquence de rotation et la vitesse angulaire du carrousel, il est nécessaire de déplacer toutes les personnes vers le centre à une distance égale à la moitié du rayon. Dans ce cas, les personnes peuvent être représentées sous forme de masses ponctuelles.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser la loi de conservation du moment cinétique. Le moment cinétique d'un système fermé reste constant s'il n'est pas influencé par des moments de forces externes. Déplacer les gens vers le centre modifiera le moment d’inertie du système, mais ne modifiera pas le moment d’élan.

Initialement, le moment cinétique du système est égal au produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire :

L = jeω

où L est le moment cinétique, I est le moment d'inertie, ω est la vitesse angulaire.

Le moment d'inertie d'un carrousel avec 5 personnes sur le bord est égal à la somme des moments d'inertie de chaque personne et du moment d'inertie du carrousel sans personnes :

I1 = 5 mr^2/2 + mr^2 = 15 mr^2/2

où m est la masse d'une personne, r est le rayon du carrousel.

Le moment d'inertie d'un carrousel avec des personnes déplacées vers le centre peut être trouvé de la même manière :

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Ainsi, le moment cinétique du système reste constant :

I1ω1 = I2ω2

où ω1 et ω2 sont les vitesses angulaires du carrousel avant et après le déplacement des personnes.

En substituant les valeurs des moments d'inertie et de la vitesse angulaire, on obtient :

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2

ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - la vitesse angulaire du carrousel après que les personnes se soient déplacées vers le centre.

La fréquence de rotation du carrousel après déplacement de personnes est :

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Produit numérique : "Au bord du carrousel"

Le produit numérique « Au bord du carrousel » est une attraction virtuelle qui vous permettra de ressentir l'adrénaline et le plaisir sans sortir de chez vous ! Vous vous retrouverez au bord d'un carrousel, qui ressemble à un disque d'une masse de 200 kg et d'un rayon de 2 m, tournant à une fréquence de 1 rps. Des lumières colorées, de la musique et des cris de joie clignoteront autour de vous. Vous pouvez vous sentir comme un véritable héros en vous trouvant au bord du carrousel avec les autres participants à l'attraction.

Ce produit numérique convient aux amateurs de sports extrêmes et à ceux qui souhaitent vivre quelque chose de nouveau et d’excitant. C'est un excellent cadeau pour les amis et la famille qui aiment l'adrénaline et les expériences insolites.

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Le problème est de trouver la vitesse de rotation et la vitesse angulaire d'un manège après que cinq personnes pesant chacune 60 kg se soient déplacées vers son centre à une distance égale à la moitié du rayon.

Pour résoudre le problème, il faut utiliser la loi de conservation du moment cinétique. Le moment cinétique d'un système fermé reste constant s'il n'est pas influencé par des moments de forces externes. Déplacer les gens vers le centre modifiera le moment d’inertie du système, mais ne modifiera pas le moment d’élan.

Initialement, le moment cinétique du système est égal au produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire : L = jeω

Le moment d'inertie d'un carrousel avec 5 personnes sur le bord est égal à la somme des moments d'inertie de chaque personne et du moment d'inertie du carrousel sans personnes :

I1 = 5 mr^2/2 + mr^2 = 15 mr^2/2

où m est la masse d'une personne, r est le rayon du carrousel.

Le moment d'inertie d'un carrousel avec des personnes déplacées vers le centre peut être trouvé de la même manière :

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Ainsi, le moment cinétique du système reste constant :

I1ω1 = I2ω2

où ω1 et ω2 sont les vitesses angulaires du carrousel avant et après le déplacement des personnes.

En substituant les valeurs des moments d'inertie et de la vitesse angulaire, on obtient :

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2 ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s - la vitesse angulaire du carrousel après que les personnes se soient déplacées vers le centre.

La fréquence de rotation du carrousel après déplacement de personnes est :

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Ainsi, après avoir déplacé les personnes vers le centre, la vitesse de rotation du carrousel doublera presque et la vitesse angulaire augmentera de plus de cinq fois.

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Un carrousel en forme de disque d'une masse de 200 kg et d'un rayon de 2 m est donné, qui tourne à une fréquence de 1 tour/s. Au bord du carrousel se trouvent cinq personnes pesant chacune 60 kg. Pour trouver la fréquence de rotation et la vitesse angulaire du carrousel si toutes les personnes se déplacent vers son centre à une distance égale à la moitié du rayon, vous devez utiliser les lois de conservation de l'impulsion et du moment cinétique.

Tout d'abord, trouvons le moment d'inertie du carrousel par rapport à son centre, qui est égal à :

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 = 400$ kg·м²,

où m est la masse du carrousel, R est son rayon.

Nous trouverons ensuite le moment d'inertie du système de carrousel et des personnes par rapport à son centre après que toutes les personnes se soient dirigées vers lui :

$I' = \sum_{i=1}^{5} m_i r_i^2 = m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2} \right)^2 + mR^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = 2,5 mR^2 $,

où m_i est la masse de la ième personne, r_i est la distance entre le centre du carrousel et la ième personne.

La loi de conservation du moment cinétique stipule que le moment cinétique d'un système reste inchangé en l'absence de couples externes :

$I\omega = I'\omega',

où ω est la vitesse angulaire du carrousel avant le déplacement des personnes, ω' est la vitesse angulaire du carrousel après le déplacement des personnes.

En substituant les valeurs trouvées des moments d'inertie, on obtient :

$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 \cdot \omega = 2,5 \cdot 200 \cdot R^2 \cdot \omega'$

À partir de là, nous trouvons la vitesse angulaire du carrousel après le déplacement des personnes :

$\omega' = \frac{1}{5}\omega = \frac{1}{5}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{5}$ montant/с.

La vitesse de rotation du carrousel est égale à la vitesse angulaire divisée par 2π :

$f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{1}{5}$ rév/s.

Ainsi, la fréquence de rotation du carrousel après avoir déplacé toutes les personnes vers son centre est de 1/5 r/s et la vitesse angulaire est de 2π/5 rad/s.

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