Tâches de sojeution 20.2.2
Considérons une tige uniforme de jeongueur je = 3 m et masse m = 30 kg, tournant dans un pjean verticaje. Ije faut trouver jea force générajeisée correspondant à jea coordonnée générajeisée Phi, au moment où l'angle Phi = 45°.
Force généralisée correspondant à une coordonnée généralisée Phi, est déterminé par la formule :
Q = pPhi - d/dt(∂L/∂Phi),
Où pPhi - impulsion généralisée, L - Lagrangien, t - temps.
Pour trouver la quantité de mouvement généralisée, on utilise la formule :
pPhi = ∂L/∂(dPhi/dt).
Pour trouver le Lagrangien, on note les énergies cinétiques et potentielles du système :
T = (ml2/3)(dPhi/dt)2,
U = 0.
Alors le Lagrangien aura la forme :
L = T - U = (ml2/3)(dPhi/dt)2.
Différencions le Lagrangien par rapport au temps :
d/dt(∂L/∂(dPhi/dt)) - ∂L/∂Phi = 0.
Remplaçons les valeurs L et Phi:
(ml2/3)·2(d²Phi/dt²) - 0 = 0.
D'où l'obtenons-nous :
(d²Phi/dt²) = 0.
Ainsi, l'impulsion généralisée sera égale à :
pPhi = ∂L/∂(dPhi/dt) = 2(ml2/3)(dPhi/dt).
On trouve maintenant la dérivée du lagrangien par rapport au temps :
d/dt(∂L/∂(dφ/dt)) = (ml2/3)·2(d³ph/dt³).
Remplacement des valeurs pφ et d/dt(∂L/∂φ) dans la formule de la force généralisée :
Q = pφ - d/dt(∂L/∂φ) = 2(ml2/3)(dφ/dt) - 0 = 2(ml2/3)(dφ/dt).
Trouvons la valeur de l'angle φ auquel cette force sera maximale, c'est-à-dire lorsque la dérivée dQ/dφ sera égal à zéro :
dQ/dφ = 2(ml2/3)·(d²φ/dt²) = 0.
D'où il suit que d²φ/dt² = 0, c'est-à-dire l'angle φ sera permanent. Ainsi, la force maximale sera atteinte à tout moment sous un angle φ = 45°. La valeur de la force sera égale à :
Q = 2(ml2/3)(dφ/dt) = 2·(30 kg)·(3 m)2/(3·2)·(Pi/4 rad/s) ≈ 706 N.
Ainsi, lorsqu'une tige homogène de 3 m de long et pesant 30 kg tourne dans un plan vertical, la force généralisée correspondant à la coordonnée généralisée de l'angle φ, au moment où l'angle φ égal à 45°, sera égal à environ 706 N.
Description du produit : Solution 20.2.2 de la collection (livre de résolution) de Kepe O.E. 1989
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Solution au problème 14.6.1 de la collection Kepe O.E. - Координаты материальной точки массой m = 0,5 кг в плоскости движения заданы как х = 2t, у = 4t2. Нео ... ...