IDZ Ryabushko 2.2 Option 12

N° 1 Étant donné les vecteurs a(-4;3;-7), b(4;6;-2), c(6;9;-3). Nécessaire:

a) Calculez le produit mixte de trois vecteurs. Pour calculer le produit mixte, il faut calculer le déterminant d'une matrice composée des coordonnées de trois vecteurs : a x b · c = | -4 3 -7 | | 4 6 -2 | | 6 9 -3 | = (-228 ; 6 ; 0)

b) Trouvez le module du produit vectoriel. Pour trouver le module d'un produit vectoriel, il est nécessaire de calculer la longueur du vecteur obtenu grâce au produit vectoriel de deux vecteurs : |a x b| = |(-9; -38; 30)| = carré (9 ^ 2 + 38 ^ 2 + 30 ^ 2) ≈ 40,24

c) Calculez le produit scalaire de deux vecteurs. Pour calculer le produit scalaire, il faut multiplier les coordonnées correspondantes des vecteurs et additionner les produits résultants : a · b = (-44) + (36) + (-7*-2) = 8 + 18 + 14 = 40

d) Vérifiez si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l’un est multiple de l’autre. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. On calcule le produit scalaire des vecteurs a et b : a · b = 40 Puisque le produit scalaire est non nul, les vecteurs a et b ne sont pas orthogonaux. On calcule le produit vectoriel des vecteurs a et b : a x b = (-9 ; -38 ; 30) Si le produit vectoriel est nul, alors les vecteurs sont colinéaires. Puisque le produit vectoriel est non nul, les vecteurs a et b ne sont pas colinéaires.

e) Vérifiez si les trois vecteurs sont coplanaires. Trois vecteurs sont coplanaires s’ils se trouvent dans le même plan. Pour vérifier cette condition, il faut calculer le produit mixte de trois vecteurs. Voir la réponse à la question a). Si le produit mixte est nul, alors les vecteurs sont coplanaires. Le produit mixte des vecteurs a, b et c n'est pas égal à zéro, ce qui signifie que ces vecteurs ne se trouvent pas dans le même plan.

N°2 Les sommets de la pyramide sont situés aux points A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3; 4).

La Force n°3 F(2;2;9) est appliquée au point A(4;2;-3). Nécessaire:

a) Calculer le travail effectué par la force F dans le cas où le point de son application, se déplaçant rectilignement, se déplace vers le point B(2;4;0). Le travail effectué par la force F lors du déplacement du point de son application par le vecteur d est égal au produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement : A = (4;2;-3), B = (2;4;0 ), F = (2;2;9) , d = B - A = (-2;2;3) W = F d = (2*-2) + (22) + (93) = 23

b) Calculer le module du moment de force F par rapport au point B. Le moment de force est égal au produit du produit vectoriel du rayon vecteur et du vecteur force par le module du rayon vecteur : r = B - A = (-2;2;3), |r| = carré((-2)^2 + 2^2 + 3^2) = carré(17) M = |r x F| = |(2;-2;3) x (2;2;9)| = |(-24;-6;8)| = carré (24 ^ 2 + 6 ^ 2 + 8 ^ 2) ≈ 25,46

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IDZ Ryabushko 2.2 Option 12 est une tâche d'algèbre linéaire, composée de trois nombres.

N°1. Dans cette tâche, vous devez effectuer plusieurs opérations avec des vecteurs. Étant donné trois vecteurs a(-4;3;-7), b(4;6;-2), c(6;9;-3). Il faut calculer le produit mixte de trois vecteurs, trouver le module du produit vectoriel des vecteurs a et b, calculer le produit scalaire des vecteurs a et c, vérifier si les vecteurs a et b sont colinéaires ou orthogonaux, vérifier si trois vecteurs a, b et c sont coplanaires.

N°2. Dans cette tâche, vous devez travailler avec les sommets de la pyramide, donnés par les points A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0) et D( 1;-3;4 ). Il faut trouver le volume de la pyramide défini par ces points et l'aire de sa surface latérale.

N ° 3. Dans cette tâche, vous devez calculer le travail effectué par la force et le module du moment par rapport au point B. Les points A(4;2;-3) et B(2;4;0) sont donnés, ainsi que les force F(2;2;9) appliquée au point A. Il est nécessaire de calculer le travail de force F si le point de son application se déplace du point A au point B, en se déplaçant en ligne droite, ainsi que le module du moment de force F par rapport au point B.

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