Ryabushko A.P. IDZ3.1 version 17

N° 1.17. Étant donné quatre points A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Composez les équations : a) plan A1A2A3 ; b) droit A1A2 ; c) la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) un plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2. Calculer : e) le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 ; N ° 2.17. Créer une équation pour un plan passant par le point M(1;-1;2) perpendiculaire au segment M1M2 ; si M1(2;3;-4); M2(-1;2;-3). N° 3.17. Montrer que la droite est parallèle au plan x + 3y - 2z + 1 = 0 ; et droite x = t + 7 ; y = t - 2 ; z = 2t + 1 se trouve dans ce plan. Merci pour votre achat. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à m'écrire par email (voir "informations sur le vendeur").

N° 1.17. Pour composer les équations, vous aurez besoin des formules suivantes :

• L'équation d'un plan sous forme générale est : Ax + By + Cz + D = 0, où A, B, C sont les coefficients du plan qui déterminent son vecteur normal, et D est le terme libre.
• Équation d'une droite sous forme paramétrique : x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, où (x0, y0, z0) sont les coordonnées d'un point sur la droite, a, b, c sont les coefficients directeurs de la droite, t - paramètre.

a) Construisons les vecteurs A1A2 et A1A3, trouvons leur produit vectoriel et obtenons le vecteur normal du plan. L'équation générale du plan est : 6x - 9y - 6z + 63 = 0.

b) Trouvez le vecteur directeur de la droite A1A2 : (6-4, 6-9, 5-5) = (2, -3, 0). L'équation d'une droite sous forme paramétrique : x = 6 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

c) Trouvons le vecteur directeur de la droite A4M comme produit vectoriel du vecteur normal du plan A1A2A3 et du vecteur A4M. Ensuite nous composerons l’équation de la droite sous forme paramétrique en utilisant le point A4. Vecteur de direction : (-3, -3, -6). Équation d'une droite : x = 6 - 3t, y = 9 - 3t, z = 3 - 6t.

d) Puisque la droite A3N est parallèle à la droite A1A2, son vecteur directeur coïncidera avec le vecteur directeur de la droite A1A2 : (2, -3, 0). L'équation d'une droite sous forme paramétrique : x = 4 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

e) Trouver le vecteur normal du plan passant par le point A4 en utilisant le produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A4. L'équation générale du plan est : -3x - 6y + 9z + 45 = 0.

f) Trouvez les vecteurs directeurs des droites A1A4 et A1A2, calculez leur produit scalaire et leurs longueurs à l'aide de la formule |a||b|cos(angle entre vecteurs) = ab. Ensuite, nous trouvons le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, en utilisant la formule sin(angle) = |n(A1-A4)| / (|n|*|A1-A4|), où n est le vecteur normal du plan, A1-A4 est le vecteur reliant les points A1 et A4. Résultat : sin(angle) = 2/3.

g) Trouver le vecteur normal du plan A1A2A3 en utilisant le produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A3. On trouve ensuite le cosinus de l'angle entre le plan A1A2A3 et le plan de coordonnées Oxy, en utilisant la formule cos(angle) = |nOh| / (|n||Oxy|), où Oxy est le vecteur unitaire situé sur l'axe Ox. Résultat : cos(angle) = 2/3.

N ° 2.17. Trouvons le vecteur directeur du segment M1M2 : (-3, -1, 1). Le vecteur normal du plan coïncidera avec le vecteur directeur du segment, puisque le plan doit être perpendiculaire au segment. L'équation générale du plan est : -3x - y + z + 1 = 0.

N° 3.17. Le vecteur directeur de la droite donné par l'équation vectorielle est égal à (1, 1, 2). Ce vecteur n'est pas normal au plan x + 3y - 2z + 1 = 0, ce qui signifie que la droite est parallèle à ce plan. Pour nous assurer que la droite se trouve dans ce plan, nous substituons ses coordonnées dans l'équation du plan et obtenons : (t+7) + 3(t-2) - 2(2t+1) + 1 = 0, ce qui équivaut à t = -1. Lorsque t = -1, les coordonnées de la droite coïncident avec les coordonnées d'un point situé dans le plan, ce qui signifie que la droite se trouve dans ce plan.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 17 est une tâche d'algèbre linéaire, qui comprend plusieurs tâches pour établir des équations de lignes et de plans, déterminer les angles entre les lignes et les plans, et également vérifier si une ligne se trouve dans un plan donné.

N° 1.17. Étant donné quatre points A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Il faut créer des équations : a) avion A1A2A3 ; b) droit A1A2 ; c) la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) un plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2 ; f) calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

N ° 2.17. Il faut créer une équation pour un plan passant par le point M(1;–1;2) perpendiculaire au segment M1M2, où M1(2;3;–4); M2(–1;2;–3).

N° 3.17. Il faut montrer que la droite est parallèle au plan x + 3y – 2z + 1 = 0, et la droite x = t + 7 ; y = t – 2 ; z = 2t + 1 se trouve dans ce plan.

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