Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 8

N° 1.8. Quatre points sont donnés : A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6). Il faut créer des équations : a) plan A1A2A3 ; b) droit A1A2 ; c) la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2.

Il faut également calculer : e) le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

a) Afin de trouver l'équation du plan A1A2A3, il faut utiliser la formule de l'équation générale du plan : Ax + By + Cz + D = 0. On trouve d'abord les vecteurs A1A2 et A1A3 :

A1A2 = (4-6 ; 6-1 ; 6-1) = (-2 ; 5 ; 5) A1A3 = (4-6 ; 2-1 ; 0-1) = (-2 ; 1 ; -1)

On trouve ensuite leur produit vectoriel :

n = A1A2 × A1A3 = (-6 ; -10 ; 12)

Remplaçons maintenant les coordonnées du point A1 et du vecteur n dans la formule de l'équation générale du plan :

-6x - 10y + 12z + D = 0

D = 66 + 101 - 12*1 = 58

L'équation du plan est A1A2A3 : -6x - 10y + 12z + 58 = 0.

b) Afin de trouver l'équation de la droite A1A2, il faut utiliser la forme paramétrique de l'équation de la droite : x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, où (a, b, c) est le vecteur directeur de la ligne.

Le vecteur directeur de la droite A1A2 est égal à :

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Alors l’équation de la droite A1A2 a la forme :

x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t

c) Pour trouver l'équation de la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3, il faut trouver le vecteur directeur de cette droite, qui sera orthogonal au vecteur n, soit :

(à, b, c) * (-6, -10, 12) = 0

Il s'ensuit que le vecteur directeur de la droite A4M doit avoir la forme :

(6, -3, -3)

Trouvons maintenant l’équation de la droite A4M, sachant qu’elle passe par le point A4(1;2;6) :

x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t

d) La ligne A3N est parallèle à la ligne A1A2, donc son vecteur directeur doit avoir la même notation de coordonnées que le vecteur directeur de la ligne A1A2 :

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

La droite A3N passe par le point A3(4;2;0), son équation a donc la forme :

x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t

e) Pour trouver l'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2, vous pouvez utiliser la formule de l'équation générale d'un plan, similaire à la formule du point a). Trouvons le vecteur directeur de la droite A1A2 :

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Le vecteur directeur du plan souhaité doit être perpendiculaire à ce vecteur, vous pouvez donc prendre un vecteur obtenu à partir de ses coordonnées avec un changement de signe de l'une d'elles, ou prendre le produit vectoriel entre lui et le vecteur, par exemple (1 ,0,0) :

(-5, -2, 2) ou (0, -5, 5)

Ensuite, nous substituons les coordonnées du point A4 et le vecteur trouvé dans la formule de l'équation générale du plan :

-5x - 2y + 2z + D = 0 et 0x - 5y + 5z + D = 0

D = 51 - 52 + 5*6 = 23

Équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 : -5x - 2y + 2z + 23 = 0 ou 0x - 5y + 5z + 23 = 0.

e) Afin de trouver le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, vous pouvez utiliser la formule sin α = |n * l| / (|n| * |l|), où n est le vecteur normal au plan, l est le vecteur directeur de la ligne. Trouvons le vecteur normal au plan A1A2A3 :

n = A1A2 × A1A3 = (-6 ; -10 ; 12)

Trouvons le vecteur directeur de la droite A1A4 :

A1A4 = (1-6 ; 2-1 ; 6-1) = (-5 ; 1 ; 5)

Alors le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 est égal à :

péché α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13

g) Pour trouver le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, vous pouvez utiliser la formule cos α = |n * k| / (|n| * |k|), où n et k sont les vecteurs normaux aux plans. Le vecteur normal au plan de coordonnées Oxy a la forme (0;0;1), et le vecteur normal au plan A1A2A3 a été trouvé au point a) :

n = (-6 ; -10 ; 12) k = (0 ; 0 ; 1)

Alors le cosinus de l'angle entre les plans est égal à

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 8

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 8 est un produit numérique destiné aux étudiants qui étudient les mathématiques dans le cadre du cours Devoirs Individuels. Ce produit contient la version 8 de la tâche 3.1, développée par A.P. Ryabushko.

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Désolé, il semble que vous ayez collé un problème mathématique avec des instructions pour le résoudre. Pourriez-vous s'il vous plaît clarifier votre demande ou fournir un contexte supplémentaire afin que je puisse mieux comprendre comment vous aider ?

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 8 est une tâche de géométrie qui comprend plusieurs points :

1. Trouver des équations : a) un plan passant par trois points A1(6;1;1), A2(4;6;6) et A3(4;2;0) ; b) une droite passant par les points A1(6;1;1) et A2(4;6;6) ; c) une droite passant par le point A4(1;2;6) et perpendiculaire au plan passant par trois points A1, A2 et A3 ; d) une droite parallèle à la droite passant par les points A1 et A2 et passant par le point A3 ; e) un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite passant par les points A1 et A2.

2. Calcul: e) le sinus de l'angle entre la droite passant par les points A1(6;1;1) et A4(1;2;6), et le plan passant par trois points A1, A2 et A3 ; g) le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan passant par trois points A1, A2 et A3.

3. Trouver l'équation d'un plan passant par deux droites parallèles et la projection du point P(3;1;–1) sur ce plan.

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