IDZ Ryabushko 3.1 Option 6

N°1. Quatre points sont donnés : A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Il faut créer des équations :

a) Équation d'un plan passant par les points A1, A2 et A3 :

Pour trouver l'équation d'un plan passant par trois points, vous pouvez utiliser la formule :

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

où x, y, z sont les coordonnées d'un point arbitraire sur le plan, et x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 sont les coordonnées de points donnés.

Remplaçons les coordonnées des points et obtenons l'équation du plan :

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Simplifions :

-16 + 26 - 12 = 0

Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme :

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Équation d'une droite passant par les points A1 et A2 :

Pour trouver l'équation d'une droite passant par deux points donnés, vous pouvez utiliser les formules :

x = x1 + à y = y1 + bt z = z1 + ct,

où x1, y1, z1 et x2, y2, z2 sont les coordonnées de points donnés, a, b, c sont des coefficients directeurs, t est un paramètre.

Trouvons les coefficients directeurs :

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Remplaçons les valeurs des coordonnées et des coefficients de direction et obtenons l'équation de la droite :

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Équation d'une droite passant par le point A4 et perpendiculaire au plan A1A2A3 :

Pour trouver l’équation d’une droite perpendiculaire à un plan donné et passant par un point donné, vous devez suivre les étapes suivantes :

Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné et perpendiculaire au plan donné.
Trouver le point d'intersection du plan trouvé et d'une droite passant par un point donné et parallèle à un plan donné.
Écrivez une équation pour une droite passant par un point donné et le point d'intersection trouvé.

Trouvons l'équation d'un plan perpendiculaire au plan A1A2A3 et passant par le point A4. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule :

-8x + 13y - 12z + d = 0,

où d est le coefficient inconnu qu’il faut trouver. Remplaçons les coordonnées du point A4 et obtenons l'équation du plan :

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Résolvons l'équation et trouvons d :

d = 169

Ainsi, l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire au plan A1A2A3 a la forme :

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Trouvons le point d'intersection du plan trouvé et de la droite A1A2. Pour ce faire, nous substituons l'équation de la droite à l'équation du plan et résolvons le système d'équations résultant :

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

En résolvant l'équation, on trouve la valeur du paramètre t :

t = -3/4

Maintenant, trouvons les coordonnées du point d'intersection :

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Ainsi, le point d'intersection a les coordonnées (-3/2 ; 13 ; -2). Il reste à créer une équation pour une droite passant par les points A4 et (-3/2 ; 13 ; -2). Pour ce faire, on utilise les formules de l'équation d'une droite passant par deux points :

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

où t est un paramètre.

d) Équation d'une droite parallèle à la droite A1A2 et passant par le point A3 :

Pour trouver l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné, il faut utiliser les formules :

x = x1 + à y = y1 + bt z = z1 + ct,

où x1, y1, z1 sont les coordonnées du point donné, a, b, c sont les coefficients directeurs, qui doivent être égaux aux coefficients directeurs de la droite donnée.

Trouvons les coefficients directeurs de la droite A1A2 donnée :

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Ainsi, l'équation d'une droite parallèle à la droite A1A2 et passant par le point A3 a la forme :

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 :

Pour trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné, il faut utiliser la formule :

une(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

où x0, y0, z0 sont les coordonnées d'un point donné, a, b, c sont des coefficients de direction qui doivent être perpendiculaires au vecteur direction d'une droite donnée.

Trouvons le vecteur directeur de la droite donnée A1A2 :

u = (2, -8, 4)

Ainsi, les coefficients directeurs du plan doivent être perpendiculaires

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 est un produit numérique, qui est une collection de problèmes mathématiques destinés aux écoliers. Ce produit contient des problèmes sur divers sujets, tels que la géométrie, l'algèbre et la trigonométrie, avec différents niveaux de difficulté, ce qui vous permet de l'utiliser aussi bien pour l'auto-apprentissage que pour la préparation aux olympiades et aux examens.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 est une tâche mathématique qui comprend plusieurs tâches visant à trouver des équations de lignes et de plans passant par des points donnés ou parallèles/perpendiculaires à des lignes et des plans donnés.

La tâche donne quatre points : A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), et il faut créer les équations :

a) équation du plan passant par les points A1, A2 et A3 ; b) l'équation d'une droite passant par les points A1 et A2 ; c) l'équation d'une droite passant par le point A4 et perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) équation d'une droite parallèle à la droite A1A2 et passant par le point A3 ; e) équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2.

Pour résoudre chaque problème, les formules et méthodes appropriées décrites dans les conditions de la tâche sont utilisées.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 est un ensemble de tâches mathématiques qui incluent la résolution d'équations de plans et de droites, ainsi que la recherche de coefficients directeurs et de plans perpendiculaires.

La tâche donne quatre points : A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Les tâches suivantes doivent être résolues :

a) Trouver l'équation du plan passant par les points A1, A2 et A3. Pour ce faire, vous pouvez utiliser une formule qui relie les coordonnées d'un point arbitraire sur le plan aux coordonnées de points donnés.

b) Trouver l'équation de la droite passant par les points A1 et A2. Pour ce faire, vous devez utiliser des formules qui relient les coordonnées d'un point arbitraire sur une ligne aux coordonnées de points donnés.

c) Trouver l'équation de la droite passant par le point A4 et perpendiculaire au plan A1A2A3. Pour ce faire, il faut d'abord trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à un plan donné et passant par un point donné. Il faut ensuite trouver le point d'intersection de ce plan et d'une droite passant par un point donné et parallèle à un plan donné. Et enfin, vous devez créer une équation pour une droite passant par un point donné et le point d'intersection trouvé.

d) Trouver l'équation d'une droite parallèle à la droite A1A2 et passant par le point A3. Pour ce faire, vous devez utiliser des formules qui relient les coordonnées d'un point arbitraire sur une ligne avec les coordonnées d'un point donné et les coefficients directeurs d'une ligne donnée.

e) Trouver l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2. Pour ce faire, vous devez utiliser une formule qui relie les coordonnées d'un point arbitraire sur le plan avec les coordonnées d'un point donné et des coefficients de guidage, qui doivent être perpendiculaires au guide d'une droite donnée.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 est une tâche de géométrie contenant plusieurs sous-tâches de complexité variable.

N°1. Dans la première tâche, quatre points sont donnés dans un espace tridimensionnel, et vous devez également créer des équations du plan et des lignes passant par ces points, calculer les angles et trouver des perpendiculaires et des parallèles.

a) Pour compiler l'équation du plan A1A2A3, vous pouvez utiliser la formule de l'équation générale du plan Ax + By + Cz + D = 0, où les coefficients A, B et C sont déterminés à l'aide du produit vectoriel des vecteurs couchés dans cet avion. Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme :

-5x + 7a - 11z + 44 = 0

b) Pour compiler l'équation de la droite A1A2, vous pouvez utiliser la formule de l'équation paramétrique de la droite, qui a la forme :

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Pour compiler l'équation de la droite A4M, vous pouvez utiliser la formule de l'équation paramétrique d'une droite qui passe par les points A4 et M. Le point M n'est pas précisé, il doit donc être choisi arbitrairement. Par exemple, vous pouvez prendre le point M(0,0,0). Alors l’équation paramétrique de la droite A4M aura la forme :

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

La perpendiculaire au plan A1A2A3 peut être trouvée à l'aide du vecteur normal de ce plan, qui est déterminé par les coefficients de l'équation du plan. Ainsi, le vecteur normal du plan A1A2A3 a pour coordonnées (-5, 7, -11), et la droite A4N, perpendiculaire au plan A1A2A3, aura l'équation :

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) La droite A3N est parallèle à la droite A1A2, ce qui signifie que son vecteur directeur coïncidera avec le vecteur directeur de la droite A1A2. Le vecteur directeur de la droite A1A2 a pour coordonnées (2, -8, 4), donc l'équation de la droite A3N aura la forme :

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) L'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la ligne A1A2 peut être trouvée à l'aide de la formule de l'équation générale du plan et du vecteur normal, qui sera dirigé perpendiculairement à la ligne A1A2 et coïncidera donc avec la direction vecteur de la ligne A1A4. Le vecteur directeur de la droite A1A4 a pour coordonnées (3, -16, 7), donc le vecteur normal du plan aura pour coordonnées (3, -16, 7), et l'équation du plan sera :

3x - 16 ans + 7 z + 118 = 0

f) Pour calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, il faut trouver le cosinus de l'angle entre le vecteur directeur de la droite A1A4 et le vecteur normal du plan A1A2A3, puis prendre le sinus de l'angle en plus du cosinus calculé. Le vecteur directeur de la droite A1A4 a les coordonnées (3, -16, 7), et le vecteur normal du plan A1A2A3 a les coordonnées (-5, 7, -11). Leur produit scalaire est -211 et les longueurs des vecteurs sont √290,5 et √195, ce qui donne le cosinus de l'angle entre eux égal à -0,924. Par conséquent, le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 sera égal à √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Pour calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, vous devez trouver l'angle entre leurs vecteurs normaux. Le vecteur normal du plan de coordonnées Oxy a les coordonnées (0, 0, 1), et le vecteur normal du plan A1A2A3 a été trouvé plus tôt et a les coordonnées (-5, 7, -11). Leur produit scalaire est -11 et les longueurs des vecteurs sont 1 et √195, ce qui donne le cosinus de l'angle entre eux égal à -0,056. Par conséquent, l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 sera approximativement égal à acos(-0,056) ≈ 90,6 degrés.

N°2. Dans la deuxième tâche, vous devez créer une équation pour un plan passant par deux points donnés et parallèle à l'axe Oy.

Pour que le plan soit parallèle à l'axe Oy, son vecteur normal doit être dirigé le long de l'axe Oy, c'est-à-dire que ses coordonnées doivent être (0, k, 0), où k est un nombre arbitraire. Le vecteur normal du plan doit également être perpendiculaire aux points de connexion vectoriels A(2, 5, -1) et B(-3, 1, 3), c'est-à-dire que leur produit scalaire doit être nul.

L’équation du plan est donc :

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

où k est un nombre arbitraire.

N ° 3. Dans la troisième tâche, vous devez trouver la valeur du paramètre auquel la ligne est parallèle à une ligne donnée. Pour ce faire, il faut exprimer les coordonnées du vecteur directeur d'une ligne donnée à travers des paramètres et trouver les coordonnées correspondantes du vecteur directeur de la ligne souhaitée. Alors tu as besoin

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