Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 17

N° 1.17. Dados cuatro puntos A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Formule las ecuaciones: a) plano A1A2A3; b) recta A1A2; c) recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3; d) recta A3N paralela a la recta A1A2; e) un plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2. Calcular: e) el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3; N° 2.17. Cree una ecuación para un plano que pasa por el punto M(1;-1;2) perpendicular al segmento M1M2; si M1(2;3;-4); M2(-1;2;-3). N° 3.17. Demuestre que la recta es paralela al plano x + 3y - 2z + 1 = 0; y recta x = t + 7; y = t - 2; z = 2t + 1 se encuentra en este plano. Gracias por su compra. Si tienes alguna pregunta, escríbeme por correo electrónico (ver "información sobre el vendedor").

N° 1.17. Para componer las ecuaciones necesitarás las siguientes fórmulas:

• La ecuación de un plano en forma general es: Ax + By + Cz + D = 0, donde A, B, C son los coeficientes del plano que determinan su vector normal, y D es el término libre.
• Ecuación de una recta en forma paramétrica: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, donde (x0, y0, z0) son las coordenadas de un punto de la recta, a, b, c son los coeficientes directores de la línea recta, t - parámetro.

a) Construyamos los vectores A1A2 y A1A3, encontremos su producto vectorial y obtengamos el vector normal del plano. La ecuación general del avión es: 6x - 9y - 6z + 63 = 0.

b) Encuentre el vector director de la recta A1A2: (6-4, 6-9, 5-5) = (2, -3, 0). La ecuación de una recta en forma paramétrica: x = 6 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

c) Encontremos el vector director de la recta A4M como producto vectorial del vector normal del plano A1A2A3 y el vector A4M. Luego componeremos la ecuación de la recta en forma paramétrica usando el punto A4. Vector de dirección: (-3, -3, -6). Ecuación de una recta: x = 6 - 3t, y = 9 - 3t, z = 3 - 6t.

d) Dado que la recta A3N es paralela a la recta A1A2, su vector director coincidirá con el vector director de la recta A1A2: (2, -3, 0). La ecuación de una recta en forma paramétrica: x = 4 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

e) Encuentre el vector normal del plano que pasa por el punto A4 usando el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A4. La ecuación general del avión es: -3x - 6y + 9z + 45 = 0.

f) Encuentre los vectores directores de las rectas A1A4 y A1A2, calcule su producto escalar y longitudes usando la fórmula |a||b|cos(ángulo entre vectores) = ab. Luego encontramos el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, usando la fórmula sin(ángulo) = |n(A1-A4)| / (|n|*|A1-A4|), donde n es el vector normal del plano, A1-A4 es el vector que conecta los puntos A1 y A4. Resultado: pecado(ángulo) = 2/3.

g) Encuentre el vector normal del plano A1A2A3 usando el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3. Luego encontramos el coseno del ángulo entre el plano A1A2A3 y el plano coordenado Oxy, usando la fórmula cos(ángulo) = |nOhu| / (|norte||Oxy|), donde Oxy es el vector unitario que se encuentra en el eje Ox. Resultado: cos(ángulo) = 2/3.

N° 2.17. Encontremos el vector dirección del segmento M1M2: (-3, -1, 1). El vector normal del plano coincidirá con el vector director del segmento, ya que el plano debe ser perpendicular al segmento. La ecuación general del avión es: -3x - y + z + 1 = 0.

N° 3.17. El vector director de la recta dado por la ecuación vectorial es igual a (1, 1, 2). Este vector no es normal al plano x + 3y - 2z + 1 = 0, lo que significa que la recta es paralela a este plano. Para asegurarnos de que la línea recta se encuentra en este plano, sustituimos sus coordenadas en la ecuación del plano y obtenemos: (t+7) + 3(t-2) - 2(2t+1) + 1 = 0, que es equivalente a t = -1. Cuando t = -1, las coordenadas de la recta coinciden con las coordenadas de un punto que se encuentra en el plano, lo que significa que la recta se encuentra en este plano.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 17 es una tarea de álgebra lineal, que incluye varias tareas para elaborar ecuaciones de rectas y planos, determinar los ángulos entre rectas y planos y también comprobar si una recta se encuentra en un plano determinado.

N° 1.17. Dados cuatro puntos A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Es necesario crear ecuaciones: a) avión A1A2A3; b) recta A1A2; c) recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3; d) recta A3N paralela a la recta A1A2; e) un plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2; f) calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

N° 2.17. Es necesario crear una ecuación para un plano que pasa por el punto M(1;–1;2) perpendicular al segmento M1M2, donde M1(2;3;–4); M2(–1;2;–3).

N° 3.17. Es necesario demostrar que la recta es paralela al plano x + 3y – 2z + 1 = 0, y la recta x = t + 7; y = t – 2; z = 2t + 1 se encuentra en este plano.

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