N° 1.8. Se dan cuatro puntos: A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6). Es necesario crear ecuaciones: a) plano A1A2A3; b) recta A1A2; c) recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3; d) recta A3N paralela a la recta A1A2; e) un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2.
También es necesario calcular: e) el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.
a) Para encontrar la ecuación del plano A1A2A3, es necesario utilizar la fórmula de la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0. Primero, encontramos los vectores A1A2 y A1A3:
A1A2 = (4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5) A1A3 = (4-6; 2-1; 0-1) = (-2; 1; -1)
Luego encontramos su producto vectorial:
norte = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)
Ahora sustituyamos las coordenadas del punto A1 y el vector n en la fórmula de la ecuación general del plano:
-6x - 10y + 12z + D = 0
D = 66 + 101 - 12*1 = 58
La ecuación del avión es A1A2A3: -6x - 10y + 12z + 58 = 0.
b) Para encontrar la ecuación de la recta A1A2, es necesario utilizar la forma paramétrica de la ecuación de la recta: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, donde (a, b, c) es el vector director de la recta.
El vector director de la recta A1A2 es igual a:
(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)
Entonces la ecuación de la recta A1A2 tiene la forma:
x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t
c) Para encontrar la ecuación de la recta A4M perpendicular al plano A1A2A3, es necesario encontrar el vector director de esta recta, que será ortogonal al vector n, es decir:
(á, b, c) * (-6, -10, 12) = 0
De ello se deduce que el vector director de la recta A4M debe tener la forma:
(6, -3, -3)
Ahora encontremos la ecuación de la recta A4M, sabiendo que pasa por el punto A4(1;2;6):
x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t
d) La línea A3N es paralela a la línea A1A2, por lo tanto su vector dirección debe tener la misma notación de coordenadas que el vector dirección de la línea A1A2:
(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)
La línea A3N pasa por el punto A3(4;2;0), por lo que su ecuación tiene la forma:
x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t
e) Para encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2, puedes utilizar la fórmula de la ecuación general de un plano, similar a la fórmula del punto a). Encontremos el vector director de la recta A1A2:
(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)
El vector director del plano deseado debe ser perpendicular a este vector, por lo que se puede tomar un vector obtenido de sus coordenadas con un cambio de signo de una de ellas, o tomar el producto vectorial entre éste y el vector, por ejemplo, (1 ,0,0):
(-5, -2, 2) o (0, -5, 5)
Luego sustituimos las coordenadas del punto A4 y el vector encontrado en la fórmula de la ecuación general del plano:
-5x - 2y + 2z + D = 0 y 0x - 5y + 5z + D = 0
Re = 51 - 52 + 5*6 = 23
Ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2: -5x - 2y + 2z + 23 = 0 o 0x - 5y + 5z + 23 = 0.
e) Para encontrar el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, puedes usar la fórmula sin α = |n * l| / (|n| * |l|), donde n es el vector normal al plano, l es el vector director de la recta. Encontremos el vector normal al plano A1A2A3:
norte = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)
Encontremos el vector director de la recta A1A4:
A1A4 = (1-6; 2-1; 6-1) = (-5; 1; 5)
Entonces el seno del ángulo formado por la recta A1A4 y el plano A1A2A3 es igual a:
pecado α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13
g) Para encontrar el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, puedes usar la fórmula cos α = |n * k| / (|n| * |k|), donde n y k son los vectores normales a los planos. El vector normal al plano coordenado Oxy tiene la forma (0;0;1), y el vector normal al plano A1A2A3 se encontró en el punto a):
norte = (-6; -10; 12) k = (0; 0; 1)
Entonces el coseno del ángulo entre los planos es igual a
Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 8 es un producto digital destinado a estudiantes que estudian matemáticas como parte del curso de tarea individual. Este producto contiene la versión 8 de la tarea 3.1, desarrollada por A.P. Riabushko.
Lo sentimos, parece que has pegado un problema matemático con instrucciones para resolverlo. ¿Podría aclarar su solicitud o proporcionar contexto adicional para que pueda entender mejor cómo ayudarlo?
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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opción 8 es una tarea de geometría que incluye varios puntos:
Encontrar ecuaciones: a) un plano que pasa por tres puntos A1(6;1;1), A2(4;6;6) y A3(4;2;0); b) una línea recta que pasa por los puntos A1(6;1;1) y A2(4;6;6); c) una línea recta que pasa por el punto A4(1;2;6) y perpendicular al plano que pasa por tres puntos A1, A2 y A3; d) una recta paralela a la recta que pasa por los puntos A1 y A2 y pasa por el punto A3; e) un plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta que pasa por los puntos A1 y A2.
Cálculo: f) el seno del ángulo entre la recta que pasa por los puntos A1(6;1;1) y A4(1;2;6), y el plano que pasa por tres puntos A1, A2 y A3; g) el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano que pasa por tres puntos A1, A2 y A3.
Encontrar la ecuación de un plano que pasa por dos rectas paralelas y la proyección del punto P(3;1;–1) sobre este plano.
Si tiene alguna pregunta, puede comunicarse con el vendedor en la dirección proporcionada en la información del vendedor.
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