Ryabushko A.P. IDZ 2.2 Option 3

IDZ - 2.2 Nr. 1.3. Es werden Vektoren angegeben. Es ist notwendig: a) das gemischte Produkt dreier Vektoren zu berechnen; b) Finden Sie den Modul des Vektorprodukts; c) das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen; d) prüfen, ob zwei Vektoren kollinear oder orthogonal sind; e) Überprüfen Sie, ob die drei Vektoren koplanar sind.

Gegebene Vektoren: a(2;-4;-2); b(7;3;0); c(3;5;-7).

Um das gemischte Produkt der Vektoren a, b und c zu berechnen, muss die Formel verwendet werden, um die Determinante der Matrix zu ermitteln, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt: (a, b, c) = | 2 -4 -2 | | 7 3 0 | | 3 5 -7 | = (-94; -13; 59)

Der Modul des Vektorprodukts der Vektoren a und b kann durch die Formel ermittelt werden: |a x b| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) = √(9^2 + 14^2 + 29^2) = √986 ≈ 31,39

Das Skalarprodukt der Vektoren a und b wird nach der Formel berechnet: a * b = 2*7 + (-4)*3 + (-2)*0 = 8

Um die Kollinearität oder Orthogonalität von Vektoren zu bestimmen, ist es notwendig, ihr Skalarprodukt zu berechnen. Ist er gleich 0, dann sind die Vektoren orthogonal, ist er gleich dem Produkt ihrer Längen, dann sind die Vektoren kollinear. Berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren a und b: a * b = 8, ungleich 0 und ungleich dem Produkt der Längen der Vektoren, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear und nicht orthogonal sind.

Um die Koplanarität dreier Vektoren zu bestimmen, muss geprüft werden, ob sie in derselben Ebene liegen. Dazu können Sie prüfen, ob das gemischte Produkt der Vektoren a, b und c gleich Null ist: (a, b, c) = (-94; -13; 59), ungleich 0, was die Vektoren bedeutet sind nicht koplanar.

Nr. 2.3. Die Spitzen der Pyramide liegen an den Punkten A(1;3;1); B(–1;4;6); C(–2;–3;4); D(3;4;–4).

Um das Problem zu lösen, muss das Volumen der Pyramide ermittelt werden, das mit der Formel V = (1/3) * S * h berechnet werden kann, wobei S die Fläche der Basis der Pyramide ist. und h ist die Höhe der Pyramide.

Die Fläche der Basis der Pyramide kann als Fläche des Parallelogramms ermittelt werden, das durch die Vektoren AB und AC gebildet wird: S = |AB x AC| = |(-2;-1;5)| = √30

Die Höhe der Pyramide kann als Abstand vom Scheitelpunkt D zur Ebene ermittelt werden, die die Basis ABC enthält. Dazu müssen Sie die Gleichung der Ebene finden, die durch die Punkte A, B und C verläuft, und die Koordinaten des Scheitelpunkts D in diese Gleichung einsetzen. Die Ebenengleichung kann als Produkt der Vektoren AB und AC gefunden werden: n = AB x AC = (-2;-1;5) Ebenengleichung: -2x- y + 5z = 0

Jetzt können Sie den Abstand vom Punkt D zur Ebene mithilfe der Formel ermitteln: h = |(AD * n) / |n||, wobei AD der Vektor ist, der den Scheitelpunkt D mit einem beliebigen Punkt auf der Ebene verbindet, und |n| - Vektorlänge n.

Nehmen wir Punkt A auf der Ebene und finden wir den Vektor AD: AD = D - A = (3;1;-5)

Ermitteln wir die Länge des Vektors n: |n| = √(4^2 + 1^2 + 5^2) = √42

Jetzt können Sie die Höhe der Pyramide berechnen: h = |(AD * n) / |n|| = |(-31) / √42| ≈ 4,81

Insgesamt beträgt das Volumen der Pyramide: V = (1/3) * S * h = (1/3) * √30 * 4,81 ≈ 2,07

Nr. 3.3. Auf Punkt A(5;3;4) wirkt die Kraft F(2;19;–4). Berechnen Sie: a) die Kraftarbeit für den Fall, dass sich der Punkt ihrer Anwendung geradlinig bewegt und sich zum Punkt B(6;–4;–1) bewegt; b) Modul des Kraftmoments relativ zum Punkt B.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die von der Kraft geleistete Arbeit und den Momentenmodul dieser Kraft relativ zum Punkt B zu ermitteln.

a) Die Kraftarbeit F beim Bewegen des Angriffspunkts von Punkt A nach Punkt B wird nach der Formel berechnet: A = F * Δr, wobei Δr der Verschiebungsvektor des Angriffspunkts ist.

Finden wir den Verschiebungsvektor Δr, indem wir die Koordinaten von Punkt A von den Koordinaten von Punkt B subtrahieren: Δr = B - A = (1; -7; -5)

Jetzt können Sie die Kraftarbeit berechnen: A = F * Δr = (2; 19; -4) * (1; -7; -5) = -205

Antwort: Die von der Kraft F geleistete Arbeit beim Verschieben des Angriffspunkts von Punkt A nach Punkt B beträgt -205.

b) Das Kraftmoment wird nach folgender Formel berechnet: M = r x F, wobei r der Vektor vom Angriffspunkt der Kraft bis zum Punkt ist, um den das Moment berechnet wird.

Finden wir den Vektor r vom Punkt B zum Kraftangriffspunkt F: r = A - B = (-1; 7; 5)

Jetzt können Sie das Kraftmoment berechnen: M = r x F = (-1; 7; 5) x (2; 19; -4) = (-93; 18; -33)

Der Modul des Kraftmoments ist gleich der Länge dieses Vektors: |M| = √((-93)^2 + 18^2 + (-33)^2) ≈ 98,69

Antwort: Der Modul des Kraftmoments F relativ zum Punkt B beträgt ungefähr 98,69.

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Ryabushko A.P. IDZ 2.2 Option 3 ist eine Aufgabe zur Erledigung von Hausaufgaben in linearer Algebra. Die Aufgabe besteht aus drei Nummern, die jeweils mehrere Unteraufgaben enthalten.

Die erste Zahl enthält drei Vektoren a(2;-4;-2), b(7;3;0) und c(3;5;-7). Sie müssen das gemischte Produkt von drei Vektoren berechnen, den Modul des Kreuzprodukts ermitteln, das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen, prüfen, ob zwei Vektoren kollinear oder orthogonal sind, und prüfen, ob drei Vektoren koplanar sind.

Die zweite Ausgabe gibt die Koordinaten der Scheitelpunkte der Pyramide an: A(1;3;1), B(–1;4;6), C(–2;–3;4), D(3;4;– 4). Die Aufgabe erfordert die Berechnung einiger Parameter der Pyramide, spezifische Unteraufgaben werden jedoch nicht spezifiziert.

Die dritte Ausgabe gibt die Koordinaten der Punkte A(5;3;4) und B(6;–4;–1) sowie die auf Punkt A ausgeübte Kraft F(2;19;–4) an. Dies ist notwendig um die Arbeit der Kraft in dem Fall zu berechnen, wenn sich der Punkt ihrer Anwendung geradlinig bewegt und sich zum Punkt B(6;–4;–1) bewegt, sowie den Modul des Kraftmoments relativ zum Punkt B.

Wenn Sie Fragen zur Erledigung der Aufgabe haben, können Sie den Verkäufer unter der in den Verkäuferinformationen angegebenen E-Mail-Adresse kontaktieren.

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