里亚布什科 A.P. IDZ 2.2 选项 3

IDZ - 2.2 号 1.3。给出了向量。需要：a)计算三个向量的混合积； b) 求矢量积的模； c) 计算两个向量的标量积； d) 检查两个向量是否共线或正交； e) 检查三个向量是否共面。

给定向量：a(2;-4;-2); b(7;3;0); c(3;5;-7)。

要计算向量a、b和c的混合乘积，需要使用以下公式求出这些向量的坐标组成的矩阵的行列式：(a,b,c) = | 2 -4 -2 | 2 -4 -2 | 7 3 0 | 7 3 0 | 3 5 -7 | 3 5 -7 =（-94；-13；59）

向量 a 和 b 的向量积的模可以通过以下公式求出：|a x b| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) = √(9^2 + 14^2 + 29^2) = √986 ≈ 31.39

使用以下公式计算向量 a 和 b 的标量积：a * b = 2*7 + (-4)*3 + (-2)*0 = 8

为了确定向量的共线性或正交性，需要计算它们的标量积。如果它等于 0，则向量正交，如果等于它们长度的乘积，则向量共线。我们来计算向量a和b的标量积：a * b = 8，不等于0也不等于向量长度的乘积，这意味着向量不共线也不正交。

为了确定三个向量的共面性，需要检查它们是否位于同一平面上。为此，您可以检查向量 a、b 和 c 的混合乘积是否等于 0：(a, b, c) = (-94; -13; 59)，不等于 0，这意味着向量不共面。

第 2.3 号。金字塔的顶点位于点A(1;3;1)； B(–1;4;6); C(–2;–3;4); D(3;4;–4)。

要解决这个问题，就需要求出金字塔的体积，可以使用公式计算：V = (1/3) * S * h，其中S是金字塔底面的面积， h 是金字塔的高度。

金字塔底面的面积可以通过向量AB和AC形成的平行四边形的面积求得：S = |AB x AC| = |(-2;-1;5)| = √30

金字塔的高度可以通过从顶点 D 到包含底面 ABC 的平面的距离来求出。为此，您需要找到经过 A、B、C 点的平面方程，并将顶点 D 的坐标代入该方程。平面方程可以由向量 AB 和 AC 的乘积求出： n = AB x AC = (-2;-1;5) 平面方程：-2x- y + 5z = 0

现在，您可以使用以下公式找到从点 D 到平面的距离：h = |(AD * n) / |n||，其中 AD 是连接顶点 D 到平面上任意点的向量，|n| - 向量长度n。

让我们在平面上取点 A 并找到向量 AD： AD = D - A = (3;1;-5)

让我们求出向量 n 的长度：|n| = √(4^2 + 1^2 + 5^2) = √42

现在您可以计算金字塔的高度：h = |(AD * n) / |n|| = |(-31) / √42|约4.81

总而言之，金字塔的体积为：V = (1/3) * S * h = (1/3) * √30 * 4.81 ≈ 2.07

第 3.3 条。力 F(2;19;–4) 施加到点 A(5;3;4)。计算： a) 当力的作用点直线移动到 B(6;–4;–1) 点时，力的功； b) 相对于 B 点的力矩模量。

为了解决这个问题，需要找到该力所做的功以及该力相对于B点的力矩模量。

a) 将作用点从 A 点移动到 B 点时，力 F 的计算公式为：A = F * Δr，其中 Δr 为作用点的位移矢量。

我们通过 B 点的坐标减去 A 点的坐标来求出位移矢量 Δr： Δr = B - A = (1; -7; -5)

现在您可以计算力的功：A = F * Δr = (2; 19; -4) * (1; -7; -5) = -205

答案：作用点从A点移动到B点时，力F所做的功等于-205。

b) 力矩的计算公式为：M = r x F，其中 r 是从力的施加点到力矩计算点周围的矢量。

让我们找到从 B 点到力 F 的施加点的向量 r： r = A - B = (-1; 7; 5)

现在您可以计算力矩：M = r x F = (-1; 7; 5) x (2; 19; -4) = (-93; 18; -33)

力矩的模数等于该矢量的长度：|M| = √((-93)^2 + 18^2 + (-33)^2) ≈ 98.69

答：力矩F相对于B点的模数约为98.69。

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里亚布什科 A.P. IDZ 2.2 选项 3 是一项线性代数作业。该任务由三个数字组成，每个数字包含多个子任务。

第一个数字包含三个向量 a(2;-4;-2)、b(7;3;0) 和 c(3;5;-7)。您需要计算三个向量的混合积，找到叉积的模，计算两个向量的点积，检查两个向量是否共线或正交，并检查三个向量是否共面。

第二期给出了金字塔顶点的坐标：A(1;3;1)、B(–1;4;6)、C(–2;–3;4)、D(3;4;– 4).该任务需要计算金字塔的一些参数，但没有指定具体的子任务。

第三题给出了点A(5;3;4)和B(6;–4;–1)的坐标，以及施加在A点上的力F(2;19;–4)。计算在 的情况下，当力的作用点直线移动并移动到 B(6;–4;–1) 点时，力所做的功，以及相对于 B 点的力矩模量。

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