Ryabushko A.P. IDZ 2.2 opzione 3

IDZ - 2.2 N. 1.3. Sono dati i vettori. È necessario: a) calcolare il prodotto misto di tre vettori; b) trovare il modulo del prodotto vettoriale; c) calcolare il prodotto scalare di due vettori; d) verificare se due vettori sono collineari o ortogonali; e) verificare se i tre vettori sono complanari.

Dati i vettori: a(2;-4;-2); b(7;3;0); c(3;5;-7).

Per calcolare il prodotto misto dei vettori a, bec, è necessario utilizzare la formula per trovare il determinante della matrice composta dalle coordinate di questi vettori: (a, b, c) = | 2 -4 -2 | | 7 3 0 | | 3 5 -7 | = (-94; -13; 59)

Il modulo del prodotto vettoriale dei vettori aeb può essere trovato dalla formula: |a x b| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) = √(9^2 + 14^2 + 29^2) = √986 ≈ 31,39

Il prodotto scalare dei vettori aeb si calcola utilizzando la formula: a * b = 2*7 + (-4)*3 + (-2)*0 = 8

Per determinare la collinearità o l'ortogonalità dei vettori, è necessario calcolare il loro prodotto scalare. Se è uguale a 0, allora i vettori sono ortogonali, se è uguale al prodotto delle loro lunghezze, allora i vettori sono collineari. Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori aeb: a * b = 8, diverso da 0 e non uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori, il che significa che i vettori non sono collineari e non ortogonali.

Per determinare la complanarità di tre vettori è necessario verificare se giacciono sullo stesso piano. Per fare ciò, puoi verificare se il prodotto misto dei vettori a, b e c è uguale a zero: (a, b, c) = (-94; -13; 59), diverso da 0, il che significa che i vettori non sono complanari.

N. 2.3. I vertici della piramide si trovano nei punti A(1;3;1); B(–1;4;6); C(–2;–3;4); D(3;4;–4).

Per risolvere il problema è necessario trovare il volume della piramide, che può essere calcolato utilizzando la formula: V = (1/3) * S * h, dove S è l'area della base della piramide, e h è l'altezza della piramide.

L'area della base della piramide può essere trovata come l'area del parallelogramma formato dai vettori AB e AC: S = |AB x AC| = |(-2;-1;5)| = √30

L'altezza della piramide può essere trovata come la distanza dal vertice D al piano contenente la base ABC. Per fare ciò, devi trovare l'equazione del piano che passa per i punti A, B e C e sostituire in questa equazione le coordinate del vertice D. L'equazione del piano può essere trovata come il prodotto dei vettori AB e AC: n = AB x AC = (-2;-1;5) Equazione del piano: -2x- y + 5z = 0

Ora puoi trovare la distanza dal punto D al piano usando la formula: h = |(AD * n) / |n||, dove AD è il vettore che collega il vertice D a qualsiasi punto del piano, e |n| - lunghezza del vettore n.

Prendiamo il punto A sul piano e troviamo il vettore AD: AD = D - A = (3;1;-5)

Troviamo la lunghezza del vettore n: |n| = √(4^2 + 1^2 + 5^2) = √42

Ora puoi calcolare l'altezza della piramide: h = |(AD * n) / |n|| = |(-31) / √42| ≈ 4,81

In totale, il volume della piramide è: V = (1/3) * S * h = (1/3) * √30 * 4,81 ≈ 2,07

N. 3.3. La forza F(2;19;–4) viene applicata al punto A(5;3;4). Calcolare: a) il lavoro della forza nel caso in cui il punto di sua applicazione, muovendosi rettilineamente, si sposti nel punto B(6;–4;–1); b) modulo del momento di forza relativo al punto B.

Per risolvere il problema è necessario trovare il lavoro compiuto dalla forza e il modulo del momento di tale forza rispetto al punto B.

a) Il lavoro della forza F quando si sposta il punto di applicazione dal punto A al punto B si calcola con la formula: A = F * Δr, dove Δr è il vettore spostamento del punto di applicazione.

Troviamo il vettore spostamento Δr sottraendo le coordinate del punto A dalle coordinate del punto B: Δr = B - A = (1; -7; -5)

Ora puoi calcolare il lavoro della forza: A = F * Δr = (2; 19; -4) * (1; -7; -5) = -205

Risposta: il lavoro compiuto dalla forza F spostando il punto di applicazione dal punto A al punto B è pari a -205.

b) Il momento della forza si calcola con la formula: M = r x F, dove r è il vettore dal punto di applicazione della forza al punto attorno al quale si calcola il momento.

Troviamo il vettore r dal punto B al punto di applicazione della forza F: r = A - B = (-1; 7; 5)

Ora puoi calcolare il momento della forza: M = r x F = (-1; 7; 5) x (2; 19; -4) = (-93; 18; -33)

Il modulo del momento della forza è uguale alla lunghezza di questo vettore: |M| = √((-93)^2 + 18^2 + (-33)^2) ≈ 98,69

Risposta: il modulo del momento della forza F relativo al punto B è circa 98,69.

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Ryabushko A.P. IDZ 2.2 opzione 3 è un compito per fare compiti a casa in algebra lineare. L'attività è composta da tre numeri, ciascuno dei quali contiene diverse attività secondarie.

Il primo numero contiene tre vettori a(2;-4;-2), b(7;3;0) e c(3;5;-7). È necessario calcolare il prodotto misto di tre vettori, trovare il modulo del prodotto incrociato, calcolare il prodotto scalare di due vettori, verificare se due vettori sono collineari o ortogonali e verificare se tre vettori sono complanari.

La seconda questione fornisce le coordinate dei vertici della piramide: A(1;3;1), B(–1;4;6), C(–2;–3;4), D(3;4;– 4). L'attività richiede il calcolo di alcuni parametri della piramide, ma non sono specificate attività secondarie specifiche.

La terza questione fornisce le coordinate dei punti A(5;3;4) e B(6;–4;–1), nonché la forza F(2;19;–4) applicata al punto A. È necessario per calcolare il lavoro della forza nel caso , quando il punto della sua applicazione si muove rettilineamente e si sposta al punto B(6;–4;–1), nonché il modulo del momento della forza relativo al punto B.

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