リャブシュコ A.P. IDZ 2.2 オプション 3

IDZ-2.2 No.1.3。ベクトルが与えられます。次のことが必要です: a) 3 つのベクトルの混合積を計算します。 b) ベクトル積の係数を求めます。 c) 2 つのベクトルのスカラー積を計算します。 d) 2 つのベクトルが同一線上にあるか直交しているかをチェックします。 e) 3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認します。

与えられたベクトル: a(2;-4;-2); b(7;3;0); c(3;5;-7)。

ベクトル a、b、c の混合積を計算するには、次の式を使用して、これらのベクトルの座標で構成される行列の行列式を見つける必要があります。 (a, b, c) = | 2-4-2 | | 7 3 0 | | 3 5 -7 | = (-94; -13; 59)

ベクトル a と b のベクトル積の係数は、次の式で求められます。 |a x b| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) = √(9^2 + 14^2 + 29^2) = √986 ≈ 31.39

ベクトル a と b のスカラー積は、次の式で計算されます: a * b = 2*7 + (-4)*3 + (-2)*0 = 8

ベクトルの共線性または直交性を判断するには、それらのスカラー積を計算する必要があります。これが 0 に等しい場合、ベクトルは直交し、ベクトルの長さの積に等しい場合、ベクトルは同一直線上にあります。ベクトル a と b のスカラー積を計算してみましょう。 a * b = 8、0 に等しくなく、ベクトルの長さの積にも等しくありません。これは、ベクトルが同一線上になく、直交していないことを意味します。

3 つのベクトルの共平面性を判断するには、それらが同じ平面上にあるかどうかを確認する必要があります。これを行うには、ベクトル a、b、c の混合積がゼロに等しいかどうかを確認できます: (a, b, c) = (-94; -13; 59)、0 に等しくない、つまりベクトル同一平面上にありません。

2.3番。ピラミッドの頂点は点 A(1;3;1) にあります。 B(-1;4;6); C(-2;-3;4); D(3;4;–4)。

この問題を解決するには、ピラミッドの体積を見つける必要があります。これは次の式を使用して計算できます: V = (1/3) * S * h、S はピラミッドの底面の面積、 h はピラミッドの高さです。

ピラミッドの底面の面積は、ベクトル AB と AC によって形成される平行四辺形の面積として求めることができます: S = |AB x AC| = |(-2;-1;5)| = √30

ピラミッドの高さは、頂点 D から底辺 ABC を含む平面までの距離として求められます。これを行うには、点 A、B、C を通過する平面の方程式を見つけ、頂点 D の座標をこの方程式に代入する必要があります。平面方程式は、ベクトル AB と AC の積として求められます。 n = AB x AC = (-2;-1;5) 平面方程式: -2x- y + 5z = 0

これで、式 h = |(AD * n) / |n|| を使用して点 D から平面までの距離を求めることができます。ここで、AD は頂点 D と平面上の任意の点を結ぶベクトルであり、|n| は頂点 D と平面上の任意の点を結ぶベクトルです。 - ベクトルの長さ n。

平面上の点 A をとり、ベクトル AD を見つけてみましょう: AD = D - A = (3;1;-5)

ベクトル n の長さを調べてみましょう: |n| = √(4^2 + 1^2 + 5^2) = √42

これで、ピラミッドの高さを計算できます: h = |(AD * n) / |n|| = |(-31) / √42| ≈ 4.81

合計すると、ピラミッドの体積は次のようになります: V = (1/3) * S * h = (1/3) * √30 * 4.81 ≈ 2.07

3.3番。力 F(2;19;–4) が点 A(5;3;4) に適用されます。 a) 直線的に移動する作用点が点 B(6;–4;–1) に移動する場合の力の仕事。 b) 点 B に対する力のモーメントの係数。

この問題を解決するには、力によって行われる仕事と、点 B に対するこの力のモーメントの係数を見つける必要があります。

a) 作用点を点 A から点 B に移動するときの力 F の仕事は、式 A =​​ F * Δr によって計算されます。ここで、Δr は作用点の変位ベクトルです。

点 B の座標から点 A の座標を減算して、変位ベクトル Δr を求めましょう: Δr = B - A = (1; -7; -5)

これで力の仕事を計算できるようになりました: A = F * Δr = (2; 19; -4) * (1; -7; -5) = -205

答え: 作用点を点 A から点 B に移動するときに力 F によって行われる仕事は、-205 に等しくなります。

b) 力のモーメントは次の式で計算されます: M = r x F。ここで、r は力の適用点からモーメントが計算される点までのベクトルです。

点 B から力の作用点 F までのベクトル r を見つけてみましょう: r = A - B = (-1; 7; 5)

これで力のモーメントを計算できるようになりました: M = r x F = (-1; 7; 5) x (2; 19; -4) = (-93; 18; -33)

力のモーメントの係数は、このベクトルの長さに等しい: |M| = √((-93)^2 + 18^2 + (-33)^2) ≈ 98.69

答え: 点 B に対する力 F のモーメントの係数は約 98.69 です。

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リャブシュコ A.P. IDZ 2.2 オプション 3 は、線形代数の宿題を行うためのタスクです。タスクは 3 つの数字で構成され、それぞれの数字には複数のサブタスクが含まれます。

最初の数値には、3 つのベクトル a(2;-4;-2)、b(7;3;0)、および c(3;5;-7) が含まれています。 3 つのベクトルの混合積を計算し、外積の係数を求め、2 つのベクトルの内積を計算し、2 つのベクトルが同一直線上にあるか直交しているかを確認し、3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認する必要があります。

2 番目の問題では、ピラミッドの頂点の座標が与えられます: A(1;3;1)、B(–1;4;6)、C(–2;–3;4)、D(3;4;– 4)。このタスクではピラミッドのいくつかのパラメーターを計算する必要がありますが、特定のサブタスクは指定されていません。

3 番目の問題は、点 A(5;3;4) と B(6;–4;–1) の座標と、点 A に加えられる力 F(2;19;–4) を示します。力の作用点が直線的に移動して点 B(6;–4;–1) に移動する場合の力の仕事と、点 B に対する力のモーメントの係数を計算します。

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