Lösung für Aufgabe 19.2.4 aus der Sammlung von Kepe O.E.

19.2.4 Auf die Zahnstange 2 mit der Masse m = 2,5 kg wird eine variable Kraft F = 9t ausgeübt². Es ist notwendig, die Winkelbeschleunigung von Zahnrad 1 zum Zeitpunkt t = 1 s zu ermitteln, wenn der Radius des Zahnrads r = 0,4 m beträgt und das Trägheitsmoment relativ zur Drehachse I beträgt₁ = 2 kg • m². Um das Problem zu lösen, können Sie die Formel zur Berechnung des Kraftmoments verwenden: M = F * r, wobei M das Kraftmoment, F die Kraft und r der Radius ist. Die Winkelbeschleunigung des Getriebes kann mit der Formel ermittelt werden: α = M / I₁, wobei α die Winkelbeschleunigung ist, I₁ – Trägheitsmoment relativ zur Drehachse. Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir: M = 9 * 1² * 0,4 = 3,6 N * m, α = 3,6 / 2 = 1,8 rad / s². Somit beträgt die Winkelbeschleunigung von Gang 1 zum Zeitpunkt t = 1 s 1,8 rad/s².

Lösung zu Aufgabe 19.2.4 aus der Sammlung von Kepe O..

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In dieser Lösung haben wir die Formel zur Berechnung des Kraftmoments und die Formel zur Ermittlung der Winkelbeschleunigung des Zahnrads verwendet. Wir haben alle Berechnungen durchgeführt und die Antwort erhalten: 1,8 rad/s².

Diese Lösung wird sowohl für Schüler und Lehrer als auch für alle, die sich für Mechanik und Physik interessieren, nützlich sein. Es ist im digitalen Format verfügbar und kann daher bequem auf Ihrem Computer oder Mobilgerät verwendet werden.

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Bei diesem Problem muss die Winkelbeschleunigung von Zahnrad 1 zum Zeitpunkt t = 1 s ermittelt werden, wenn eine variable Kraft F = 9t2 auf eine Zahnstange mit der Masse m = 2,5 kg ausgeübt wird. Der Radius des Zahnrades beträgt r = 0,4 m und das Trägheitsmoment um die Drehachse I1 = 2 kg · m2.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Formel zur Berechnung des Kraftmoments verwenden: M = F * r, wobei M das Kraftmoment, F die Kraft und r der Radius ist. Die Winkelbeschleunigung des Getriebes kann mit der Formel α = M / I1 ermittelt werden, wobei α die Winkelbeschleunigung und I1 das Trägheitsmoment um die Drehachse ist.

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir: M = 9 * 1^2 * 0,4 = 3,6 N * m, α = 3,6 / 2 = 1,8 rad / s2. Damit beträgt die Winkelbeschleunigung von Gang 1 zum Zeitpunkt t = 1 s 1,8 rad/s2.

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Aufgabe 19.2.4 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

Gegeben sei eine Zahnstange 2 mit einer Masse m = 2,5 kg, auf die eine variable Kraft F = 9t2 wirkt. Es ist erforderlich, die Winkelbeschleunigung von Zahnrad 1 zum Zeitpunkt t = 1 s zu bestimmen, wenn der Radius des Zahnrads r = 0,4 m und das Trägheitsmoment relativ zur Drehachse I1 = 2 kg · m2 beträgt.

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gleichung der Dynamik der Rotationsbewegung zu verwenden:

I1 * α = M,

Dabei ist I1 das Trägheitsmoment von Zahnrad 1 relativ zur Drehachse, α die Winkelbeschleunigung von Zahnrad 1 und M das auf Zahnrad 1 wirkende Kraftmoment.

Das auf Zahnrad 1 wirkende Kraftmoment kann durch den Energieerhaltungssatz bestimmt werden:

ΔE = ΔK + ΔП = 0,

Dabei ist ΔE die Änderung der gesamten mechanischen Energie des Systems, ΔK die Änderung der kinetischen Energie von Zahnrad 1, ΔП die Änderung der potentiellen Energie von Zahnstange 2 und Zahnrad 1.

Die Änderung der kinetischen Energie von Gang 1 lässt sich wie folgt ausdrücken:

ΔK = K2 - K1 = (I1 * ω1^2) / 2 - 0,

Dabei ist K1 die anfängliche kinetische Energie von Zahnrad 1 (sie ist Null, da das Zahnrad ruht), K2 die endgültige kinetische Energie von Zahnrad 1 und ω1 die Winkelgeschwindigkeit von Zahnrad 1.

Die Änderung der potentiellen Energie von Zahnstange 2 und Zahnrad 1 kann wie folgt ausgedrückt werden:

ΔП = П2 - П1 = (m * g * h2) - (m * g * h1) = - m * g * (h1 - h2),

Dabei ist P1 die anfängliche potentielle Energie von Zahnstange 2 und Zahnrad 1 (sie ist Null, da Zahnstange und Zahnrad ruhen), P2 die endgültige potentielle Energie von Zahnstange 2 und Zahnrad 1, g die Erdbeschleunigung und h1 die Höhe der Anfangsposition von Zahnstange 2 und Zahnrad 1 (sie ist gleich Null), h2 ist die Höhe der Endposition von Zahnstange 2 und Zahnrad 1.

Die Höhe der Endposition von Zahnstange 2 und Zahnrad 1 kann ermittelt werden, wenn man weiß, dass die Bewegung des Massenschwerpunkts von Zahnstange 2 und Zahnrad 1 während der Zeit t gleich ist:

Δh = (F * r * t^2) / (m * g).

Dann ist die endgültige potentielle Energie des Systems gleich:

П2 = m * g * h2 = m * g * (h1 + Δh) = m * g * (F * r * t^2) / (m * g) = F * r * t^2.

Somit ist die Änderung der gesamten mechanischen Energie des Systems gleich:

ΔE = ΔK + ΔП = (I1 * ω1^2) / 2 - F * r * t^2.

Da ΔE Null ist, können wir schreiben:

(I1 * ω1^2) / 2 = F * r* t^2.

Wenn wir die Winkelbeschleunigung α aus dieser Gleichung ausdrücken, erhalten wir:

α = M / I1 = (F * r) / I1 = 9t^2 * r / I1.

Durch Ersetzen spezifischer Werte aus den Problembedingungen (t = 1 s, r = 0,4 m, I1 = 2 kg • m2) erhalten wir:

α = 9 * 1^2 * 0,4 / 2 = 1,8 rad/s2.

Somit beträgt die Winkelbeschleunigung von Gang 1 zum Zeitpunkt t = 1 s 1,8 rad/s2, was nicht der Antwort in der Problembedingung (1.5) entspricht. Es ist möglich, dass die Problemstellung eine falsche Antwort enthält oder bei der Berechnung ein Fehler gemacht wurde.

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