Solução para o problema 19.2.4 da coleção de Kepe O.E.

19.2.4 Uma força variável F = 9t é aplicada à cremalheira 2 com massa m = 2,5 kg². É necessário encontrar a aceleração angular da engrenagem 1 no tempo t = 1 s, se o raio da engrenagem for r = 0,4 m, e o momento de inércia em relação ao eixo de rotação for I₁ = 2kg •m². Para resolver o problema, você pode usar a fórmula de cálculo do momento da força: M = F * r, onde M é o momento da força, F é a força, r é o raio. A aceleração angular da engrenagem pode ser encontrada usando a fórmula: α = M / I₁, onde α é a aceleração angular, eu₁ – momento de inércia em relação ao eixo de rotação. Substituindo os valores conhecidos, obtemos: M = 9 * 1² * 0,4 = 3,6 N * m, α = 3,6/2 = 1,8 rad/s². Assim, a aceleração angular da engrenagem 1 no tempo t = 1 s é 1,8 rad/s².

Solução para o problema 19.2.4 da coleção de Kepe O..

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Nesta solução, utilizamos a fórmula para calcular o momento da força e a fórmula para encontrar a aceleração angular da engrenagem. Fizemos todos os cálculos e obtivemos a resposta, que é 1,8 rad/s².

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Neste problema, é necessário encontrar a aceleração angular da engrenagem 1 no instante t = 1 s quando uma força variável F = 9t2 é aplicada a uma cremalheira de massa m = 2,5 kg. O raio da engrenagem é r = 0,4 m, e o momento de inércia em torno do eixo de rotação I1 = 2 kg • m2.

Para resolver o problema, você pode usar a fórmula de cálculo do momento da força: M = F * r, onde M é o momento da força, F é a força, r é o raio. A aceleração angular da engrenagem pode ser encontrada pela fórmula: α = M / I1, onde α é a aceleração angular, I1 é o momento de inércia em torno do eixo de rotação.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos: M = 9 * 1 ^ 2 * 0,4 = 3,6 N * m, α = 3,6 / 2 = 1,8 rad / s2. Assim, a aceleração angular da engrenagem 1 no tempo t = 1 s é 1,8 rad/s2.

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Problema 19.2.4 da coleção de Kepe O.?. é formulado da seguinte forma:

Dada uma cremalheira 2 com massa m = 2,5 kg, à qual é aplicada uma força variável F = 9t2. É necessário determinar a aceleração angular da engrenagem 1 no instante t = 1 s, se o raio da engrenagem for r = 0,4 m, e o momento de inércia em relação ao eixo de rotação I1 = 2 kg • m2.

Para resolver este problema, é necessário utilizar a equação da dinâmica do movimento rotacional:

I1*α=M,

onde I1 é o momento de inércia da engrenagem 1 em relação ao eixo de rotação, α é a aceleração angular da engrenagem 1, M é o momento da força que atua na engrenagem 1.

O momento da força que atua na engrenagem 1 pode ser determinado pela lei da conservação da energia:

ΔE = ΔK + ΔП = 0,

onde ΔE é a mudança na energia mecânica total do sistema, ΔK é a mudança na energia cinética da engrenagem 1, ΔП é a mudança na energia potencial da cremalheira 2 e da engrenagem 1.

A mudança na energia cinética da engrenagem 1 pode ser expressa da seguinte forma:

ΔK = K2 - K1 = (I1 * ω1 ^ 2) / 2 - 0,

onde K1 é a energia cinética inicial da engrenagem 1 (é zero, pois a engrenagem está em repouso), K2 é a energia cinética final da engrenagem 1, ω1 é a velocidade angular da engrenagem 1.

A mudança na energia potencial da cremalheira 2 e da engrenagem 1 pode ser expressa da seguinte forma:

ΔП = П2 - П1 = (m * g * h2) - (m * g * h1) = - m * g * (h1 - h2),

onde P1 é a energia potencial inicial da cremalheira 2 e da engrenagem 1 (é zero, pois a cremalheira e a engrenagem estão em repouso), P2 é a energia potencial final da cremalheira 2 e da engrenagem 1, g é a aceleração da gravidade, h1 é a altura da posição inicial da cremalheira 2 e da engrenagem 1 (é igual a zero), h2 é a altura da posição final da cremalheira 2 e da engrenagem 1.

A altura da posição final da cremalheira 2 e da engrenagem 1 pode ser encontrada sabendo que o movimento do centro de massa da cremalheira 2 e da engrenagem 1 durante o tempo t é igual a:

Δh = (F * r * t ^ 2) / (m * g).

Então a energia potencial final do sistema será igual a:

П2 = m * g * h2 = m * g * (h1 + Δh) = m * g * (F * r * t^2) / (m * g) = F * r * t^2.

Assim, a variação da energia mecânica total do sistema será igual a:

ΔE = ΔK + ΔП = (I1 * ω1 ^ 2) / 2 - F * r * t ^ 2.

Como ΔE é zero, podemos escrever:

(I1 * ω1 ^ 2) / 2 = F * r * t ^ 2.

Expressando a aceleração angular α desta equação, obtemos:

α = M / I1 = (F * r) / I1 = 9t ^ 2 * r / I1.

Substituindo valores específicos das condições do problema (t = 1 s, r = 0,4 m, I1 = 2 kg • m2), obtemos:

α = 9 * 1 ^ 2 * 0,4 / 2 = 1,8 rad/s2.

Assim, a aceleração angular da engrenagem 1 no instante t = 1 s é igual a 1,8 rad/s2, o que não corresponde à resposta na condição do problema (1.5). É possível que a definição do problema contenha uma resposta incorreta ou tenha sido cometido um erro no cálculo.

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