Am Rand eines Karussells in Form einer 200 kg schweren Scheibe

Am Rand des Karussells befinden sich 5 Personen mit einer Masse von jeweils 60 kg. Das Karussell hat die Form einer Scheibe mit einem Gewicht von 200 kg und einem Radius von 2 m, die sich mit einer Frequenz von 1 Umdrehung/s dreht. Um die Rotationsfrequenz und Winkelgeschwindigkeit des Karussells zu ermitteln, müssen alle Personen in einem Abstand gleich dem halben Radius in die Mitte bewegt werden. In diesem Fall können Menschen als Punktmassen dargestellt werden.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, den Drehimpulserhaltungssatz anzuwenden. Der Drehimpuls eines geschlossenen Systems bleibt konstant, wenn keine äußeren Kraftmomente auf ihn einwirken. Wenn man Menschen in Richtung Zentrum bewegt, ändert sich das Trägheitsmoment des Systems, nicht aber das Impulsmoment.

Der Drehimpuls des Systems ist zunächst gleich dem Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit:

L = Iω

Dabei ist L der Drehimpuls, I das Trägheitsmoment und ω die Winkelgeschwindigkeit.

Das Trägheitsmoment eines Karussells mit 5 Personen am Rand ist gleich der Summe der Trägheitsmomente jeder Person und dem Trägheitsmoment des Karussells ohne Personen:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

Dabei ist m die Masse einer Person und r der Radius des Karussells.

Das Trägheitsmoment eines Karussells mit zur Mitte hin bewegten Personen lässt sich auf ähnliche Weise ermitteln:

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Somit bleibt der Drehimpuls des Systems konstant:

I1ω1 = I2ω2

wobei ω1 und ω2 die Winkelgeschwindigkeiten des Karussells vor und nach der Bewegung von Personen sind.

Wenn wir die Werte der Trägheitsmomente und der Winkelgeschwindigkeit einsetzen, erhalten wir:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2

ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s – die Winkelgeschwindigkeit des Karussells, nachdem sich Menschen in die Mitte bewegt haben.

Die Rotationsfrequenz des Karussells nach dem Bewegen von Personen beträgt:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Digitales Produkt: „Am Rande des Karussells“

Das digitale Produkt „On the Edge of the Carousel“ ist eine virtuelle Attraktion, die es Ihnen ermöglicht, Adrenalin und Spaß zu spüren, ohne Ihr Zuhause zu verlassen! Sie befinden sich am Rand eines Karussells, das wie eine Scheibe mit einer Masse von 200 kg und einem Radius von 2 m aussieht und sich mit einer Frequenz von 1 U/s dreht. Bunte Lichter, Musik und Freudenschreie werden um Sie herum aufblitzen. Sie können sich wie ein echter Held fühlen, wenn Sie zusammen mit anderen Teilnehmern der Attraktion am Rande des Karussells stehen.

Dieses digitale Produkt eignet sich für Extremsportler und alle, die etwas Neues und Aufregendes erleben möchten. Es ist ein ausgezeichnetes Geschenk für Freunde und Familie, die Adrenalin und ungewöhnliche Erlebnisse lieben.

Kaufen Sie noch heute das digitale Produkt „On the Edge of the Carousel“ und sichern Sie sich ein unvergessliches Erlebnis direkt zu Hause!

Das Problem besteht darin, die Rotationsgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit eines Karussells zu ermitteln, nachdem sich fünf Personen mit einem Gewicht von jeweils 60 kg in einem Abstand, der dem halben Radius entspricht, zu seinem Mittelpunkt bewegt haben.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, den Drehimpulserhaltungssatz anzuwenden. Der Drehimpuls eines geschlossenen Systems bleibt konstant, wenn keine äußeren Kraftmomente auf ihn einwirken. Wenn man Menschen in Richtung Zentrum bewegt, ändert sich das Trägheitsmoment des Systems, nicht aber das Impulsmoment.

Der Drehimpuls des Systems ist zunächst gleich dem Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit: L = Iω

Das Trägheitsmoment eines Karussells mit 5 Personen am Rand ist gleich der Summe der Trägheitsmomente jeder Person und dem Trägheitsmoment des Karussells ohne Personen:

I1 = 5mr^2/2 + mr^2 = 15mr^2/2

Dabei ist m die Masse einer Person und r der Radius des Karussells.

Das Trägheitsmoment eines Karussells mit zur Mitte hin bewegten Personen lässt sich auf ähnliche Weise ermitteln:

I2 = 5m(r/2)^2/2 + m(r/2)^2 = 5mr^2/8

Somit bleibt der Drehimpuls des Systems konstant:

I1ω1 = I2ω2

wobei ω1 und ω2 die Winkelgeschwindigkeiten des Karussells vor und nach der Bewegung von Personen sind.

Wenn wir die Werte der Trägheitsmomente und der Winkelgeschwindigkeit einsetzen, erhalten wir:

15mr^2/2 * 2π = 5mr^2/8 * ω2 ω2 = 12π/5 ≈ 7,54 rad/s – die Winkelgeschwindigkeit des Karussells, nachdem sich Menschen in die Mitte bewegt haben.

Die Rotationsfrequenz des Karussells nach dem Bewegen von Personen beträgt:

f2 = ω2/2π = 12/5 ≈ 2,4 Hz.

Nachdem die Menschen in die Mitte bewegt wurden, verdoppelte sich die Rotationsgeschwindigkeit des Karussells fast und die Winkelgeschwindigkeit erhöhte sich um mehr als das Fünffache.

***

Gegeben sei ein scheibenförmiges Karussell mit einer Masse von 200 kg und einem Radius von 2 m, das sich mit einer Frequenz von 1 Umdrehung/s dreht. Am Rand des Karussells stehen fünf Personen mit einem Gewicht von jeweils 60 kg. Um die Rotationsfrequenz und Winkelgeschwindigkeit des Karussells zu ermitteln, wenn sich alle Personen in einem Abstand gleich dem halben Radius zu seinem Mittelpunkt bewegen, müssen Sie die Gesetze der Impuls- und Drehimpulserhaltung anwenden.

Ermitteln wir zunächst das Trägheitsmoment des Karussells relativ zu seiner Mitte, das gleich ist:

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 = 400$ кг·м²,

Dabei ist m die Masse des Karussells und R sein Radius.

Dann finden wir das Trägheitsmoment des Karussellsystems und der Menschen relativ zu seinem Zentrum, nachdem sich alle Menschen darauf zubewegt haben:

$I' = \sum_{i=1}^{5} m_i r_i^2 = m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2} \right)^2 + mR^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = 2,5mR^2 $,

Dabei ist m_i die Masse der i-ten Person, r_i der Abstand von der Mitte des Karussells zur i-ten Person.

Der Drehimpulserhaltungssatz besagt, dass der Drehimpuls eines Systems ohne äußere Drehmomente unverändert bleibt:

$I\omega = I'\omega',

Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit des Karussells, bevor sich Menschen bewegen, und ω' ist die Winkelgeschwindigkeit des Karussells, nachdem sich Menschen bewegt haben.

Ersetzen wir die gefundenen Werte der Trägheitsmomente, erhalten wir:

$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 2^2 \cdot \omega = 2,5 \cdot 200 \cdot R^2 \cdot \omega'$

Von hier aus ermitteln wir die Winkelgeschwindigkeit des Karussells, nachdem sich Menschen bewegt haben:

$\omega' = \frac{1}{5}\omega = \frac{1}{5}\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{5}$ Betrag/с.

Die Drehgeschwindigkeit des Karussells ist gleich der Winkelgeschwindigkeit geteilt durch 2π:

$f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{1}{5}$ rev/s.

Die Rotationsfrequenz des Karussells, nachdem alle Personen in seine Mitte bewegt wurden, beträgt also 1/5 U/s und die Winkelgeschwindigkeit beträgt 2π/5 rad/s.

***

1. Ich habe eine Kyivstar Rubbelkarte 100 gekauft und sofort mein Telefonkonto aufgeladen. Sehr bequem!
2. Keine Probleme mit der Aktivierung der Kyivstar Rubbelkarte 100, alles ging schnell und problemlos.
3. Die Kyivstar-Rubbelkarte 100 ist ein tolles Geschenk für einen geliebten Menschen, insbesondere wenn er die Dienste von Kyivstar nutzt.
4. Ich freue mich, dass ich mein Konto mit der Kyivstar Rubbelkarte 100 schnell und einfach aufladen kann.
5. Mit der Kyivstar Rubbelkarte 100 muss ich mir keine Sorgen mehr machen, dass ich im ungünstigsten Moment das Gleichgewicht verlieren könnte.
6. Ich habe eine Kyivstar Rubbelkarte 100 gekauft und Boni auf mein Telefonkonto erhalten. Das ist ein schöner Bonus!
7. Ich lege großen Wert auf Schnelligkeit und Komfort, deshalb nutze ich die Kyivstar Rubbelkarte 100 schon seit mehreren Jahren.
8. Ich brauche eine große Auswahl an Kyivstar-Tarifen und die Möglichkeit, Ihr Konto mit der Kyivstar-Rubbelkarte 100 aufzuladen.
9. Mit der Kyivstar Scratch Card 100 kann ich meine Ausgaben kontrollieren und nicht zu viel für unnötige Dienstleistungen bezahlen.
10. Ich empfehle die Kyivstar Rubbelkarte 100 jedem, der Wert auf seine Zeit legt und sein Telefonkonto schnell aufladen möchte.