Lösung für Aufgabe 14.6.10 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 14.6.10 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

„Auf der Ebene sind zwei Kreise mit Mittelpunkten in den Punkten O1 und O2 und den Radien R1 und R2 (R1) angegeben

Die Lösung für dieses Problem ist wie folgt. Zeichnen wir zunächst eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte dieser Kreise verläuft. Lassen Sie diese Linie die äußere gemeinsame Tangente der Kreise im Punkt T schneiden. Dann ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kreise gleich R2 - R1, und der Abstand zwischen dem Punkt T und dem Mittelpunkt des Kreises O1 (O2) ist gleich zu R1 + r (R2 + r). Somit erhalten wir zwei Gleichungen:

R2 - R1 = (R1 + r) + (R2 + r) R2 - R1 = (R2 + r) - (R1 + r)

Wenn wir diese Gleichungen lösen, erhalten wir den Wert von r:

r = (R2 - R1) / 2

Somit haben wir den Radius des Kreises gefunden, der beide gegebenen Kreise tangiert. Um einen solchen Kreis zu konstruieren, ist es notwendig, einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt T und einem Radius r zu zeichnen.

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Aufgabe 14.6.10 aus der Sammlung von Kepe O.?. bezieht sich auf den Abschnitt „Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik“ und ist wie folgt formuliert:

„Es werden zwei Gruppen von Studierenden gebildet. In der ersten Gruppe haben 60 % der Studierenden die Prüfung bestanden, in der zweiten Gruppe – 75 %. Es ist bekannt, dass die erste Gruppe 40 % der Gesamtzahl der Studierenden ausmacht. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Student die Prüfung bestanden hat.“

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und die Bayes-Formel verwenden. Lassen Sie uns zunächst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, die Prüfung im allgemeinen Fall zu bestehen, indem wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verwenden:

P(bestanden) = P(bestanden|1. Gruppe) * P(1. Gruppe) + P(bestanden|2. Gruppe) * P(2. Gruppe)

wobei P(bestanden|1. Gruppe) = 0,6 – Wahrscheinlichkeit, die Prüfung in der ersten Gruppe zu bestehen, P(1. Gruppe) = 0,4 – Wahrscheinlichkeit, einen Studenten aus der ersten Gruppe auszuwählen, P(bestanden|2. Gruppe) = 0,75 – Wahrscheinlichkeit die Prüfung in der zweiten Gruppe zu bestehen, P(2. Gruppe) = 0,6 – Wahrscheinlichkeit, einen Studenten aus der zweiten Gruppe auszuwählen.

Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:

P(bestanden) = 0,60.4 + 0.750.6 = 0.69

Jetzt können wir mithilfe der Bayes-Formel die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass ein zufällig ausgewählter Student die Prüfung in der ersten Gruppe bestanden hat:

P(1 Gruppe|bestanden) = P(bestanden|1 Gruppe) * P(1 Gruppe) / P(bestanden)

Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:

P(Gruppe 1|bestanden) = 0,6*0,4 / 0,69 ≈ 0,348

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Student aus der ersten Gruppe die Prüfung bestanden hat, etwa 0,348 oder 34,8 %.

Das Produkt ist in diesem Fall die Lösung zu Problem 14.6.10 aus der Sammlung von Kepe O.?.

Das Problem besagt, dass sich der Körper unter Einwirkung eines Kräftepaares mit einem Moment M = 16t um die vertikale Achse Oz dreht. Es ist auch bekannt, dass zum Zeitpunkt t = 3 s die Winkelgeschwindigkeit ? = 2 rad/s, und bei t = 0 befand sich der Körper in Ruhe.

Es ist notwendig, das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Oz-Achse zu bestimmen.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Gleichung der Dynamik der Rotationsbewegung verwenden: M = Iα, wobei M das Kraftmoment, I das Trägheitsmoment des Körpers und α die Winkelbeschleunigung ist.

Aus den Bedingungen des Problems kennen wir den Wert des Kraftmoments M und der Winkelgeschwindigkeit ? zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Da der Körper zum Zeitpunkt t = 3 eine Winkelgeschwindigkeit hat? = 2 rad/s, können Sie die Winkelbeschleunigung α wie folgt ermitteln: α = Δ?/Δt = (? - ?0)/(t - t0) = (2 - 0)/(3 - 0) = 2/3 rad/s².

Mit der Gleichung M = Iα und dem bekannten Wert von M können wir das Trägheitsmoment des Körpers ermitteln: I = М/α = 16t/(2/3) = 24t.

Bei t = 3 erhalten wir den Wert des Trägheitsmoments I = 24*3 = 72.

Somit die Antwort auf Aufgabe 14.6.10 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist 36.

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