Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 17

Nr. 1.17. Gegeben seien vier Punkte A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Stellen Sie die Gleichungen auf: a) Ebene A1A2A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht. Berechnen Sie: e) den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3; Nr. 2.17. Erstellen Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt M(1;-1;2) senkrecht zum Segment M1M2 verläuft; wenn M1(2;3;-4); M2(-1;2;-3). Nr. 3.17. Zeigen Sie, dass die Gerade parallel zur Ebene x + 3y - 2z + 1 = 0 ist; und Gerade x = t + 7; y = t - 2; z = 2t + 1 liegt in dieser Ebene. Vielen Dank für Ihren Kauf. Bei Fragen schreiben Sie mir bitte per E-Mail (siehe „Informationen zum Verkäufer“).

Nr. 1.17. Um die Gleichungen zusammenzustellen, benötigen Sie die folgenden Formeln:

• Die Gleichung einer Ebene lautet in allgemeiner Form: Ax + By + Cz + D = 0, wobei A, B, C die Koeffizienten der Ebene sind, die ihren Normalenvektor bestimmen, und D der freie Term ist.
• Gleichung einer geraden Linie in parametrischer Form: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, wobei (x0, y0, z0) die Koordinaten eines Punktes auf der geraden Linie sind, a, b, c sind die Richtungskoeffizienten der Geraden, t - Parameter.

a) Konstruieren wir die Vektoren A1A2 und A1A3, ermitteln wir ihr Vektorprodukt und erhalten wir den Normalenvektor der Ebene. Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet: 6x - 9y - 6z + 63 = 0.

b) Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden A1A2: (6-4, 6-9, 5-5) = (2, -3, 0). Die Gleichung einer Geraden in parametrischer Form: x = 6 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

c) Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A4M als Vektorprodukt des Normalenvektors der Ebene A1A2A3 und des Vektors A4M. Dann werden wir die Gleichung der Geraden in parametrischer Form unter Verwendung von Punkt A4 zusammenstellen. Richtungsvektor: (-3, -3, -6). Gleichung einer Geraden: x = 6 - 3t, y = 9 - 3t, z = 3 - 6t.

d) Da die Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2 verläuft, fällt ihr Richtungsvektor mit dem Richtungsvektor der Geraden A1A2 zusammen: (2, -3, 0). Die Gleichung einer Geraden in parametrischer Form: x = 4 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

e) Finden Sie den Normalenvektor der Ebene durch Punkt A4 mithilfe des Vektorprodukts der Vektoren A1A2 und A1A4. Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet: -3x - 6y + 9z + 45 = 0.

f) Finden Sie die Richtungsvektoren der Linien A1A4 und A1A2 und berechnen Sie deren Skalarprodukt und Längen mit der Formel |a||b|cos(Winkel zwischen Vektoren) = aB. Dann ermitteln wir den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 mithilfe der Formel sin(Winkel) = |n(A1-A4)| / (|n|*|A1-A4|), wobei n der Normalenvektor der Ebene und A1-A4 der Vektor ist, der die Punkte A1 und A4 verbindet. Ergebnis: sin(Winkel) = 2/3.

g) Finden Sie den Normalenvektor der Ebene A1A2A3 mithilfe des Vektorprodukts der Vektoren A1A2 und A1A3. Dann ermitteln wir den Kosinus des Winkels zwischen der Ebene A1A2A3 und der Koordinatenebene Oxy mithilfe der Formel cos(Winkel) = |nOhu| / (|n||Oxy|), wobei Oxy der Einheitsvektor ist, der auf der Ox-Achse liegt. Ergebnis: cos(Winkel) = 2/3.

Nr. 2.17. Finden wir den Richtungsvektor des Segments M1M2: (-3, -1, 1). Der Normalenvektor der Ebene fällt mit dem Richtungsvektor des Segments zusammen, da die Ebene senkrecht zum Segment stehen muss. Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet: -3x - y + z + 1 = 0.

Nr. 3.17. Der Richtungsvektor der durch die Vektorgleichung gegebenen Linie ist gleich (1, 1, 2). Dieser Vektor ist nicht normal zur Ebene x + 3y - 2z + 1 = 0, was bedeutet, dass die Linie parallel zu dieser Ebene verläuft. Um sicherzustellen, dass die Gerade in dieser Ebene liegt, setzen wir ihre Koordinaten in die Gleichung der Ebene ein und erhalten: (t+7) + 3(t-2) - 2(2t+1) + 1 = 0, was entspricht t = -1. Bei t = -1 fallen die Koordinaten der Linie mit den Koordinaten eines in der Ebene liegenden Punktes zusammen, was bedeutet, dass die Linie in dieser Ebene liegt.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 17 ist eine Aufgabe zur linearen Algebra, die mehrere Aufgaben zum Aufstellen von Gleichungen für Linien und Ebenen, zum Bestimmen der Winkel zwischen Linien und Ebenen sowie zum Überprüfen, ob eine Linie in einer bestimmten Ebene liegt, umfasst.

Nr. 1.17. Gegeben seien vier Punkte A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Es müssen Gleichungen erstellt werden: a) Ebene A1A2A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht; f) Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Berechnen Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

Nr. 2.17. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch den Punkt M(1;–1;2) senkrecht zum Segment M1M2 verläuft, wobei M1(2;3;–4); M2(–1;2;–3).

Nr. 3.17. Es muss gezeigt werden, dass die Gerade parallel zur Ebene x + 3y – 2z + 1 = 0 ist und die Gerade x = t + 7; y = t – 2; z = 2t + 1 liegt in dieser Ebene.

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