IDZ Ryabushko 2.2 Option 12

Nr. 1 Gegebene Vektoren a(-4;3;-7), b(4;6;-2), c(6;9;-3). Notwendig:

a) Berechnen Sie das Mischprodukt dreier Vektoren. Um das gemischte Produkt zu berechnen, muss die Determinante einer Matrix berechnet werden, die aus den Koordinaten dreier Vektoren besteht: a x b · c = | -4 3 -7 | | 4 6 -2 | | 6 9 -3 | = (-228; 6; 0)

b) Finden Sie den Modul des Vektorprodukts. Um den Modul eines Vektorprodukts zu ermitteln, muss die Länge des Vektors berechnet werden, der sich aus dem Vektorprodukt zweier Vektoren ergibt: |a x b| = |(-9; -38; 30)| = sqrt(9^2 + 38^2 + 30^2) ≈ 40,24

c) Berechnen Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren. Um das Skalarprodukt zu berechnen, müssen die entsprechenden Koordinaten der Vektoren multipliziert und die resultierenden Produkte addiert werden: a · b = (-44) + (36) + (-7*-2) = 8 + 18 + 14 = 40

d) Überprüfen Sie, ob zwei Vektoren kollinear oder orthogonal sind. Zwei Vektoren ungleich Null sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Zwei Vektoren ungleich Null sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren a und b: a · b = 40 Da das Skalarprodukt ungleich Null ist, sind die Vektoren a und b nicht orthogonal. Wir berechnen das Vektorprodukt der Vektoren a und b: a x b = (-9; -38; 30) Wenn das Vektorprodukt Null ist, dann sind die Vektoren kollinear. Da das Kreuzprodukt ungleich Null ist, sind die Vektoren a und b nicht kollinear.

e) Überprüfen Sie, ob die drei Vektoren koplanar sind. Drei Vektoren sind koplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen. Um diese Bedingung zu überprüfen, ist es notwendig, das gemischte Produkt dreier Vektoren zu berechnen. Siehe Antwort auf Frage a). Wenn das gemischte Produkt Null ist, sind die Vektoren koplanar. Das gemischte Produkt der Vektoren a, b und c ist ungleich Null, was bedeutet, dass diese Vektoren nicht in derselben Ebene liegen.

Nr. 2 Die Spitzen der Pyramide befinden sich an den Punkten A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3; 4).

Nr. 3 Kraft F(2;2;9) wird auf Punkt A(4;2;-3) ausgeübt. Notwendig:

a) Berechnen Sie die von der Kraft F verrichtete Arbeit für den Fall, dass sich der Angriffspunkt bei geradliniger Bewegung zum Punkt B(2;4;0) bewegt. Die von der Kraft F geleistete Arbeit beim Verschieben des Angriffspunkts um den Vektor d ist gleich dem Skalarprodukt des Kraftvektors und des Verschiebungsvektors: A = (4;2;-3), B = (2;4;0 ), F = (2;2;9), d = B - A = (-2;2;3) W = F d = (2*-2) + (22) + (93) = 23

b) Berechnen Sie den Modul des Kraftmoments F relativ zum Punkt B. Das Kraftmoment ist gleich dem Produkt des Vektorprodukts des Radiusvektors und des Kraftvektors mit dem Modul des Radiusvektors: r = B – A = (-2;2;3), |r| = sqrt((-2)^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(17) M = |r x F| = |(2;-2;3) x (2;2;9)| = |(-24;-6;8)| = sqrt(24^2 + 6^2 + 8^2) ≈ 25,46

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IDZ Ryabushko 2.2 Option 12 ist eine Aufgabe in der linearen Algebra, die aus drei Zahlen besteht.

Nr. 1. In dieser Aufgabe müssen Sie mehrere Operationen mit Vektoren ausführen. Gegeben seien drei Vektoren a(-4;3;-7), b(4;6;-2), c(6;9;-3). Es ist notwendig, das gemischte Produkt von drei Vektoren zu berechnen, den Modul des Kreuzprodukts der Vektoren a und b zu ermitteln, das Skalarprodukt der Vektoren a und c zu berechnen, zu prüfen, ob die Vektoren a und b kollinear oder orthogonal sind, und zu prüfen, ob drei Vektoren vorhanden sind a, b und c sind koplanar.

Nr. 2. In dieser Aufgabe müssen Sie mit den Eckpunkten der Pyramide arbeiten, die durch die Punkte A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0) und D( 1;-3;4 ). Es ist notwendig, das durch diese Punkte definierte Volumen der Pyramide und die Fläche ihrer Seitenfläche zu ermitteln.

Nr. 3. In dieser Aufgabe müssen Sie die von der Kraft geleistete Arbeit und den Modul des Moments relativ zu Punkt B berechnen. Die Punkte A(4;2;-3) und B(2;4;0) sind angegeben, außerdem die auf den Punkt A ausgeübte Kraft F(2;2;9). Es ist notwendig, die von der Kraft F verrichtete Arbeit zu berechnen, wenn sich der Angriffspunkt von Punkt A nach Punkt B bewegt, indem er sich in einer geraden Linie bewegt, sowie der Modul des Kraftmoments F relativ zum Punkt B.

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