选项 20 IDZ 3.1

1.20 号。该问题给出了三维空间中四个点的坐标：A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1)。需要解决以下任务：

a) 求经过A1、A2、A3点的平面方程。为此，您可以使用平面一般方程的公式：Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B 和 C 是由平面上两个向量的向量积确定的系数，并且D 是通过替换其中一点的坐标确定的自由项。结果方程如下：4x + 13y - 11z - 33 = 0。

b) 求通过点 A1 和 A2 的直线方程。为此，您可以使用直线参数方程的公式：x = x1 + at、y = y1 + bt、z = z1 + ct，其中 a、b 和 c 是引导系数，定义为差值点对应坐标之间的距离，t是参数。所得方程如下所示：x = 1 + 5t、y = -1 + 6t、z = 3 + 5t。

c) 求通过点A4和M并垂直于平面A1A2A3的直线方程。为此，您可以使用线段参数形式的直线方程公式：x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t，其中x1、y1、z1是A4点的坐标，x2、y2、z2是M点的坐标，t是参数。为了确定直线的方向向量，需要取向量MA4与平面A1A2A3的法线的向量积。所得方程如下：x = 8 - 5t，y = 4 - 9t，z = 1 + 7t。

d) 求通过点 A3 和 N 并平行于直线 A1A2 的直线方程。为此，您可以使用直线参数方程的公式，类似于直线 A1A2 的方程：x = 3 + t、y = 5 + 2t、z = 8 + 3t。

e) 求通过点A4并垂直于直线A1A2的平面方程。为此，您可以使用平面一般方程的公式，类似于平面 A1A2A3 的方程，但系数不同。该平面的方向矢量将与直线 A1A2 的方向矢量重合。所得方程如下：6x - 5y - 7z + 46 = 0。

f) 求直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦值。为此，您需要找到与这些线的方向对应的向量的标量积，然后将所得值除以这些向量的绝对值的乘积。它们之间的角度的正弦值将等于该乘积的模数除以向量模数的乘积。结果值为 0.82。

g) 求坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间夹角的余弦。为此，您需要找到垂直于这些平面的向量的标量积，然后将结果值除以这些向量的模的乘积。它们之间的角度的余弦将等于结果值。结果值为 0.39。

第 2.20 号。为了编制通过 Oy 轴和点 M(3;–5;2) 的平面方程，需要使用平面一般方程的公式：Ax + By + Cz + D = 0。由于平面通过Oy轴，那么系数A和C将等于0。为了确定系数B，需要将M点的坐标代入方程并关于B求解方程。所得方程将如下所示： 5y + D = 0。为了确定自由项 D，需要将点 M 的坐标代入方程并求解关于 D 的方程。所得方程将如下所示： D = -25。因此，平面方程为：5y - 25 = 0。

第 3.20 号。为了找到直线与 Oz 轴相交处的 D 值，需要创建线段参数形式的直线方程： x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t，其中 x1、y1、z1 是直线经过的点的坐标，x2、y2、z2 是直线上另一个点的坐标，t 是一个参数。然后，您需要将直线的坐标代入 Oz 轴方程（形式为 z = 0），并针对参数 t 求解方程。得到的 t 值将允许您找到直线与 Oz 轴交点的 z 坐标。

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这是数学任务1.20，其中给出了三维空间中四个点的坐标，还需要解决与确定穿过这些点的平面和直线方程有关的几个问题。这些问题使用平面和直线的一般方程和参数方程的公式，以及向量和向量的标量积。例如，需要找到通过某些点和给定线的平面方程，以及找到这些线之间的角度。解决问题将有助于提高您对 3D 几何的理解并增强您的数学技能。

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选项 20 IDZ 3.1 是一个几何任务，由三个部分组成。

零件编号 1.20。给定四个点 A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1)。必要的：

a) 画出经过A1、A2、A3点的平面方程；

b) 建立经过A1、A2点的直线方程；

c) 创建穿过点 A4 并垂直于穿过点 A1、A2 和 A3 的平面的直线方程；

d) 创建与穿过点 A1 和 A2 以及穿过点 A3 的直线平行的直线方程；

e) 画出经过A4点并垂直于经过A1和A2点的直线的平面方程；

f) 计算经过A1、A4点的直线与经过A1、A2、A3点的平面之间夹角的正弦；

g) 计算坐标平面Oxy与经过点A1、A2和A3的平面之间的夹角的余弦。

第 2.20 号。有必要为穿过 Oy 轴和点 M(3;–5;2) 的平面创建方程。

第 3.20 号。需要求直线方程中参数D的值，使其与Oz轴相交。

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