Option 20 IDZ 3.1

Nr. 1.20. Das Problem gibt die Koordinaten von vier Punkten im dreidimensionalen Raum an: A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Folgende Aufgaben müssen gelöst werden:

a) Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft. Dazu können Sie die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene verwenden: Ax + By + Cz + D = 0, wobei A, B und C die Koeffizienten sind, die durch das Vektorprodukt zweier in der Ebene liegender Vektoren bestimmt werden, und D ist der freie Term, der durch Ersetzen der Koordinaten eines der Punkte bestimmt wird. Die resultierende Gleichung sieht folgendermaßen aus: 4x + 13y – 11z – 33 = 0.

b) Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft. Dazu können Sie die Formel für die parametrische Gleichung einer Geraden verwenden: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, wobei a, b und c die Leitkoeffizienten sind, definiert als Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten der Punkte, und t ist ein Parameter. Die resultierende Gleichung sieht folgendermaßen aus: x = 1 + 5t, y = -1 + 6t, z = 3 + 5t.

c) Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A4 und M verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht. Dazu können Sie die Formel für die Gleichung einer Geraden in segmentparametrischer Form verwenden: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, wobei x1, y1, z1 die Koordinaten von Punkt A4, x2, y2, z2 die Koordinaten von Punkt M und t ein Parameter sind. Um den Richtungsvektor der Geraden zu bestimmen, muss das Vektorprodukt der Vektoren MA4 und der Normalen zur Ebene A1A2A3 gebildet werden. Die resultierende Gleichung sieht folgendermaßen aus: x = 8 – 5t, y = 4 – 9t, z = 1 + 7t.

d) Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte A3 und N verläuft und parallel zur Geraden A1A2 verläuft. Dazu können Sie die Formel für die parametrische Gleichung einer Geraden verwenden, ähnlich der Gleichung der Geraden A1A2: x = 3 + t, y = 5 + 2t, z = 8 + 3t.

e) Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft. Dazu können Sie die Formel der allgemeinen Ebenengleichung verwenden, ähnlich der Ebenengleichung A1A2A3, jedoch mit unterschiedlichen Koeffizienten. Der Richtungsvektor der Ebene fällt mit dem Richtungsvektor der Geraden A1A2 zusammen. Die resultierende Gleichung sieht folgendermaßen aus: 6x - 5y - 7z + 46 = 0.

f) Finden Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3. Dazu müssen Sie das Skalarprodukt der Vektoren ermitteln, die den Richtungen dieser Linien entsprechen, und dann den resultierenden Wert durch das Produkt der Absolutwerte dieser Vektoren dividieren. Der Sinus des Winkels zwischen ihnen ist gleich dem Modul dieses Produkts geteilt durch das Produkt der Moduli der Vektoren. Der resultierende Wert beträgt 0,82.

g) Ermitteln Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3. Dazu müssen Sie das Skalarprodukt der zu diesen Ebenen senkrechten Vektoren ermitteln und dann den resultierenden Wert durch das Produkt der Moduli dieser Vektoren dividieren. Der Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht dem resultierenden Wert. Der resultierende Wert beträgt 0,39.

Nr. 2.20. Um die Gleichung einer Ebene zu erstellen, die durch die Oy-Achse und den Punkt M(3;–5;2) verläuft, muss die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene verwendet werden: Ax + By + Cz + D = 0. Da die Ebene durch die Oy-Achse verläuft, sind die Koeffizienten A und C gleich 0. Um den Koeffizienten B zu bestimmen, müssen die Koordinaten des Punktes M in die Gleichung eingesetzt und die Gleichung nach B gelöst werden Die resultierende Gleichung sieht folgendermaßen aus: 5y + D = 0. Um den freien Term D zu bestimmen, müssen die Koordinaten des Punktes M in die Gleichung eingesetzt werden und die Gleichung nach D gelöst werden. Die resultierende Gleichung sieht folgendermaßen aus: D = -25. Somit lautet die Gleichung der Ebene: 5y - 25 = 0.

Nr. 3.20. Um den Wert von D zu finden, bei dem die Gerade die Oz-Achse schneidet, muss eine Gleichung der Geraden in segmentparametrischer Form erstellt werden: x = x1 + (x2 – x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, wobei x1, y1, z1 die Koordinaten des Punktes sind, durch den die Linie verläuft, x2, y2, z2 die Koordinaten eines anderen Punktes auf der Linie und t ist ein Parameter. Dann müssen Sie die Koordinaten der Geraden in die Gleichung der Oz-Achse einsetzen, die die Form z = 0 hat, und die Gleichung nach dem Parameter t lösen. Mit dem resultierenden t-Wert können Sie die Z-Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Oz-Achse ermitteln.

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Jedes Problem umfasst eine Reihe von Daten, die mit geeigneten mathematischen Methoden verarbeitet und gelöst werden müssen. Alle Aufgaben werden entsprechend den Anforderungen des Lehrplans bearbeitet und können sowohl zum Selbststudium als auch zur Prüfungsvorbereitung genutzt werden.

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Dies ist die mathematische Aufgabe Nr. 1.20, in der die Koordinaten von vier Punkten im dreidimensionalen Raum angegeben werden. Außerdem müssen mehrere Probleme im Zusammenhang mit der Bestimmung der Gleichungen von Ebenen und Linien gelöst werden, die durch diese Punkte verlaufen. Die Aufgaben verwenden Formeln für allgemeine und parametrische Gleichungen von Ebenen und Linien sowie Vektor- und Skalarprodukte von Vektoren. Beispielsweise ist es notwendig, die Gleichungen von Ebenen zu finden, die durch bestimmte Punkte und gegebene Linien verlaufen, sowie die Winkel zwischen diesen Linien. Das Lösen von Problemen wird dazu beitragen, Ihr Verständnis der 3D-Geometrie zu verbessern und Ihre mathematischen Fähigkeiten zu stärken.

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Option 20 IDZ 3.1 ist eine Geometrieaufgabe, die aus drei Teilen besteht.

Teil Nr. 1.20. Gegeben seien vier Punkte A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Notwendig:

a) Erstellen Sie eine Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft;

b) eine Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft;

c) Erstellen Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zu der Ebene steht, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft;

d) Erstellen Sie eine Gleichung einer Geraden parallel zu der Geraden, die durch die Punkte A1 und A2 und durch Punkt A3 verläuft;

e) Erstellen Sie eine Gleichung einer Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zu der Linie ist, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft;

f) Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden, die durch die Punkte A1 und A4 verläuft, und der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft;

g) Berechnen Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft.

Nr. 2.20. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch die Oy-Achse und den Punkt M(3;–5;2) verläuft.

Nr. 3.20. Es ist notwendig, den Wert des Parameters D in der Geradengleichung zu finden, damit er die Oz-Achse schneidet.

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