オプション 20 IDZ 3.1

1.20号。この問題では、3 次元空間内の 4 つの点の座標が与えられます。 A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1)。次のタスクを解決する必要があります。

a) 点 A1、A2、A3 を通る平面の方程式を求めます。これを行うには、平面の一般方程式の公式 Ax + By + Cz + D = 0 を使用できます。ここで、A、B、および C は、平面内にある 2 つのベクトルのベクトル積によって決定される係数であり、Dは、点の 1 つの座標を置き換えることによって決定される自由項です。結果の方程式は、4x + 13y - 11z - 33 = 0 のようになります。

b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式を求めます。これを行うには、直線のパラメトリック方程式の公式を使用できます: x = x1 + at、y = y1 + bt、z = z1 + ct。ここで、a、b、c はガイド係数であり、差として定義されます。対応する点の座標間の距離であり、t はパラメータです。結果の方程式は、x = 1 + 5t、y = -1 + 6t、z = 3 + 5t のようになります。

c) 点 A4 と M を通り、平面 A1A2A3 に垂直な直線の方程式を求めます。これを行うには、セグメント パラメトリック形式の直線の方程式の公式を使用できます。 x = x1 + (x2 - x1)t、y = y1 + (y2 - y1)t、z = z1 + (z2) - z1)t、ここで、x1、y1、z1 は点 A4 の座標、x2、y2、z2 は点 M の座標、t はパラメータです。直線の方向ベクトルを決定するには、ベクトル MA4 と平面 A1A2A3 の法線のベクトル積を求める必要があります。結果の方程式は、x = 8 - 5t、y = 4 - 9t、z = 1 + 7t のようになります。

d) 点 A3 と N を通り、直線 A1A2 に平行な直線の方程式を求めます。これを行うには、直線 A1A2 の方程式と同様の、直線のパラメトリック方程式の公式、x = 3 + t、y = 5 + 2t、z = 8 + 3t を使用できます。

e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式を求めます。これを行うには、平面 A1A2A3 の方程式に似た平面の一般方程式の公式を使用できますが、係数は異なります。平面の方向ベクトルは直線A1A2の方向ベクトルと一致します。結果の方程式は、6x - 5y - 7z + 46 = 0 のようになります。

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を求めます。これを行うには、これらの線の方向に対応するベクトルのスカラー積を見つけ、その結果の値をこれらのベクトルの絶対値の積で割る必要があります。それらの間の角度の正弦は、この積の係数をベクトルの係数の積で割ったものに等しくなります。結果の値は 0.82 になります。

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を求めます。これを行うには、これらの平面に垂直なベクトルのスカラー積を求め、その結果の値をこれらのベクトルの係数の積で割る必要があります。それらの間の角度のコサインは、結果の値と等しくなります。結果の値は 0.39 になります。

2.20号。 Oy 軸と点 M(3;–5;2) を通過する平面の方程式をコンパイルするには、平面の一般方程式の公式 Ax + By + Cz + D = 0 を使用する必要があります。平面は Oy 軸を通過するため、係数 A と C は 0 に等しくなります。係数 B を決定するには、点 M の座標を方程式に代入し、B に関して方程式を解く必要があります。結果の方程式は、5y + D = 0 のようになります。自由項 D を決定するには、点 M の座標を方程式に代入し、D に関して方程式を解く必要があります。結果の方程式は、次のようになります。D = -25。したがって、平面の方程式は 5y - 25 = 0 となります。

3.20号。直線が Oz 軸と交差する D の値を見つけるには、セグメントパラメトリック形式で直線の方程式を作成する必要があります: x = x1 + (x2 - x1)t、y = y1 + (y2 - y1)t、z = z1 + (z2 - z1)t、ここで、x1、y1、z1 は線が通過する点の座標、x2、y2、z2 は線上の別の点の座標です。 、t はパラメータです。次に、z = 0 の形式を持つ Oz 軸の方程式に直線の座標を代入し、パラメーター t に関して方程式を解く必要があります。結果の t 値により、線と Oz 軸の交点の Z 座標を見つけることができます。

製品「Option 20 IDZ 3.1」は、教育目的での使用を目的としたデジタル製品です。これはデジタル ストアで入手でき、数学の問題のセットです。

各問題には、適切な数学的手法を使用して処理および解決する必要がある一連のデータが含まれています。すべてのタスクはカリキュラムの要件に従って完了するため、自主学習と試験の準備の両方に使用できます。

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これは数学的タスク No. 1.20 で、3 次元空間内の 4 つの点の座標が与えられます。また、これらの点を通る平面と直線の方程式の決定に関連するいくつかの問題を解く必要もあります。この問題では、平面と直線の一般方程式とパラメトリック方程式、およびベクトルとベクトルのスカラー積の公式が使用されます。たとえば、特定の点と特定の線を通過する平面の方程式を見つけたり、これらの線の間の角度を見つけたりする必要があります。問題を解くと、3D ジオメトリの理解が深まり、数学スキルが強化されます。

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オプション 20 IDZ 3.1 は、3 つの部分で構成されるジオメトリ タスクです。

部品番号 1.20。 4 つの点 A1(1;–1;3) が与えられるとします。 A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1)。必要：

a) 点 A1、A2、A3 を通る平面の方程式を作成します。

b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式を作成します。

ｃ）点Ａ４を通り、点Ａ１、Ａ２、Ａ３を通る平面に垂直な直線の方程式を作成する。

ｄ）点Ａ１と点Ａ２を通り、点Ａ３を通る直線に平行な直線の方程式を作成する。

ｅ）点Ａ４を通過し、点Ａ１およびＡ２を通過する線に垂直な平面の方程式を作成する。

ｆ）点Ａ１およびＡ４を通過する直線と点Ａ１、Ａ２およびＡ３を通過する平面との間の角度の正弦を計算する。

ｇ）座標平面Ｏｘｙと、点Ａ１、Ａ２、およびＡ３を通過する平面との間の角度の余弦を計算する。

2.20号。 Oy 軸と点 M(3;–5;2) を通る平面の方程式を作成する必要があります。

3.20号。直線の方程式において、Oz軸と交わるようにパラメータDの値を求める必要があります。

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