Opción 20 IDZ 3.1

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N° 1.20. El problema da las coordenadas de cuatro puntos en el espacio tridimensional: A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Es necesario resolver las siguientes tareas:

a) Encuentra la ecuación del avión que pasa por los puntos A1, A2 y A3. Para hacer esto, puede usar la fórmula de la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0, donde A, B y C son los coeficientes determinados por el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano, y D es el término libre que se determina sustituyendo las coordenadas de uno de los puntos. La ecuación resultante se verá así: 4x + 13y - 11z - 33 = 0.

b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A1 y A2. Para hacer esto, puede usar la fórmula de la ecuación paramétrica de una línea recta: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, donde a, byc son coeficientes guía, definidos como la diferencia entre las coordenadas correspondientes de puntos, y t es un parámetro. La ecuación resultante se verá así: x = 1 + 5t, y = -1 + 6t, z = 3 + 5t.

c) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos A4 y M y es perpendicular al plano A1A2A3. Para hacer esto, puede usar la fórmula para la ecuación de una línea recta en forma segmento-paramétrica: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, donde x1, y1, z1 son las coordenadas del punto A4, x2, y2, z2 son las coordenadas del punto M y t es un parámetro. Para determinar el vector director de una línea recta, es necesario tomar el producto vectorial de los vectores MA4 y la normal al plano A1A2A3. La ecuación resultante se verá así: x = 8 - 5t, y = 4 - 9t, z = 1 + 7t.

d) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos A3 y N y es paralela a la recta A1A2. Para hacer esto, puede usar la fórmula de la ecuación paramétrica de una línea recta, similar a la ecuación de la línea recta A1A2: x = 3 + t, y = 5 + 2t, z = 8 + 3t.

e) Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2. Para hacer esto, puedes usar la fórmula de la ecuación general del avión, similar a la ecuación del avión A1A2A3, pero con diferentes coeficientes. El vector director del avión coincidirá con el vector director de la recta A1A2. La ecuación resultante se verá así: 6x - 5y - 7z + 46 = 0.

f) Encuentre el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3. Para hacer esto, necesita encontrar el producto escalar de los vectores correspondientes a las direcciones de estas líneas y luego dividir el valor resultante por el producto de los valores absolutos de estos vectores. El seno del ángulo entre ellos será igual al módulo de este producto dividido por el producto de los módulos de los vectores. El valor resultante será 0,82.

g) Encuentre el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3. Para hacer esto, necesita encontrar el producto escalar de los vectores normales a estos planos y luego dividir el valor resultante por el producto de los módulos de estos vectores. El coseno del ángulo entre ellos será igual al valor resultante. El valor resultante será 0,39.

N° 2.20. Para compilar la ecuación de un plano que pasa por el eje Oy y el punto M(3;–5;2), es necesario utilizar la fórmula de la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0. Dado que el avión pasa por el eje Oy, entonces los coeficientes A y C serán iguales a 0. Para determinar el coeficiente B, es necesario sustituir las coordenadas del punto M en la ecuación y resolver la ecuación con respecto a B. La ecuación resultante se verá así: 5y + D = 0. Para determinar el término libre D, es necesario sustituir las coordenadas del punto M en la ecuación y resolver la ecuación con respecto a D. La ecuación resultante se verá así: D = -25. Así, la ecuación del avión será: 5y - 25 = 0.

N° 3.20. Para encontrar el valor de D en el que la recta corta el eje Oz, es necesario crear una ecuación de la recta en forma segmento-paramétrica: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, donde x1, y1, z1 son las coordenadas del punto por el que pasa la recta, x2, y2, z2 son las coordenadas de otro punto de la recta y t es un parámetro. Luego debes sustituir las coordenadas de la línea recta en la ecuación del eje Oz, que tiene la forma z = 0, y resolver la ecuación con respecto al parámetro t. El valor t resultante le permitirá encontrar la coordenada z del punto de intersección de la línea con el eje Oz.

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Esta es la tarea matemática No. 1.20, en la que se dan las coordenadas de cuatro puntos en el espacio tridimensional, y también es necesario resolver varios problemas relacionados con la determinación de las ecuaciones de planos y rectas que pasan por estos puntos. Los problemas utilizan fórmulas para ecuaciones generales y paramétricas de planos y rectas, así como productos vectoriales y escalares de vectores. Por ejemplo, es necesario encontrar las ecuaciones de los planos que pasan por ciertos puntos y líneas dadas, así como encontrar los ángulos entre estas líneas. Resolver problemas le ayudará a mejorar su comprensión de la geometría 3D y fortalecerá sus habilidades matemáticas.

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La opción 20 IDZ 3.1 es una tarea de geometría que consta de tres partes.

Parte No. 1.20. Dados cuatro puntos A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Necesario:

a) trazar una ecuación del plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3;

b) componer una ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A1 y A2;

c) crear una ecuación para una línea recta que pasa por el punto A4 y perpendicular al plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3;

d) crear una ecuación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos A1 y A2 y que pasa por el punto A3;

e) trazar la ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta que pasa por los puntos A1 y A2;

f) calcular el seno del ángulo entre la recta que pasa por los puntos A1 y A4 y el plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3;

g) calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3.

N° 2.20. Es necesario crear una ecuación para un plano que pasa por el eje Oy y el punto M(3;–5;2).

N° 3.20. Es necesario encontrar el valor del parámetro D en la ecuación de la recta para que corte al eje Oz.

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