옵션 20 IDZ 3.1

1.20호. 문제는 3차원 공간에서 네 점의 좌표를 제공합니다: A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). 다음 작업을 해결해야 합니다.

a) 점 A1, A2, A3를 통과하는 평면의 방정식을 구합니다. 이를 위해 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다: Ax + By + Cz + D = 0. 여기서 A, B 및 C는 평면에 있는 두 벡터의 벡터 곱에 의해 결정되는 계수입니다. D는 점 중 하나의 좌표를 대체하여 결정되는 자유항입니다. 결과 방정식은 다음과 같습니다: 4x + 13y - 11z - 33 = 0.

b) 점 A1과 A2를 지나는 직선의 방정식을 구합니다. 이를 위해 직선의 매개변수 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct. 여기서 a, b 및 c는 안내 계수이며 차이로 정의됩니다. 해당 점의 좌표 사이, t는 매개변수입니다. 결과 방정식은 다음과 같습니다: x = 1 + 5t, y = -1 + 6t, z = 3 + 5t.

c) 점 A4와 M을 지나고 평면 A1A2A3에 수직인 선의 방정식을 구합니다. 이를 위해 세그먼트 매개변수 형식의 직선 방정식 공식을 사용할 수 있습니다. x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, 여기서 x1, y1, z1은 A4 지점의 좌표이고, x2, y2, z2는 M 지점의 좌표이고 t는 매개변수입니다. 직선의 방향 벡터를 결정하려면 벡터 MA4와 평면 A1A2A3의 법선의 벡터 곱을 구해야 합니다. 결과 방정식은 다음과 같습니다: x = 8 - 5t, y = 4 - 9t, z = 1 + 7t.

d) 점 A3과 N을 지나고 선 A1A2에 평행한 선의 방정식을 구합니다. 이를 위해 직선 A1A2 방정식(x = 3 + t, y = 5 + 2t, z = 8 + 3t)과 유사한 직선 매개변수 방정식 공식을 사용할 수 있습니다.

e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식을 구합니다. 이를 위해 평면 A1A2A3의 방정식과 유사하지만 계수가 다른 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. 평면의 방향 벡터는 직선 A1A2의 방향 벡터와 일치합니다. 결과 방정식은 다음과 같습니다: 6x - 5y - 7z + 46 = 0.

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 사인을 구합니다. 이렇게 하려면 이 선의 방향에 해당하는 벡터의 스칼라 곱을 찾은 다음 결과 값을 이 벡터의 절대값의 곱으로 나누어야 합니다. 그들 사이의 각도의 사인은 이 곱의 계수를 벡터 계수의 곱으로 나눈 값과 같습니다. 결과 값은 0.82가 됩니다.

g) 좌표평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 구합니다. 이렇게 하려면 이러한 평면에 수직인 벡터의 스칼라 곱을 찾은 다음 결과 값을 이러한 벡터의 모듈러스 곱으로 나누어야 합니다. 그들 사이의 각도의 코사인은 결과 값과 같습니다. 결과 값은 0.39가 됩니다.

2.20. Oy 축과 점 M(3;–5;2)을 통과하는 평면의 방정식을 컴파일하려면 평면의 일반 방정식에 대한 공식인 Ax + By + Cz + D = 0을 사용해야 합니다. 평면이 Oy 축을 통과하므로 계수 A와 C는 0과 같습니다. 계수 B를 결정하려면 점 M의 좌표를 방정식에 대입하고 B에 대한 방정식을 풀어야 합니다. 결과 방정식은 다음과 같습니다: 5y + D = 0. 자유 항 D를 결정하려면 점 M의 좌표를 방정식에 대체하고 D에 대해 방정식을 풀어야 합니다. 결과 방정식은 다음과 같습니다. D = -25. 따라서 평면의 방정식은 5y - 25 = 0이 됩니다.

번호 3.20. 직선이 Oz 축과 교차하는 D 값을 찾으려면 세그먼트 매개변수 형식으로 직선 방정식을 만들어야 합니다. x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, 여기서 x1, y1, z1은 선이 통과하는 점의 좌표이고, x2, y2, z2는 선 위의 다른 점의 좌표입니다. , t는 매개변수입니다. 그런 다음 직선 좌표를 z = 0 형식의 오즈 축 방정식으로 대체하고 매개변수 t에 대해 방정식을 풀어야 합니다. 결과 t 값을 사용하면 Oz 축과 선의 교차점의 z 좌표를 찾을 수 있습니다.

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이것은 3차원 공간에서 네 점의 좌표가 주어지는 수학적 과제 No. 1.20이며, 이 점들을 통과하는 평면과 선의 방정식을 결정하는 것과 관련된 몇 가지 문제도 해결해야 합니다. 문제에서는 벡터와 벡터의 곱뿐만 아니라 평면과 직선의 일반 및 매개변수 방정식에 대한 공식을 사용합니다. 예를 들어 특정 점과 주어진 선을 통과하는 평면의 방정식을 구하고 이 선들 사이의 각도를 구하는 것이 필요합니다. 문제를 해결하면 3D 기하학에 대한 이해가 향상되고 수학 능력이 강화됩니다.

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옵션 20 IDZ 3.1은 세 부분으로 구성된 형상 작업입니다.

부품 번호 1.20. 4개의 점 A1(1;–1;3)이 주어졌습니다. A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). 필요한:

a) 점 A1, A2 및 A3을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.

b) 점 A1과 A2를 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오.

c) 점 A4를 통과하고 점 A1, A2 및 A3을 통과하는 평면에 수직인 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

d) 점 A1과 A2를 통과하고 점 A3을 통과하는 선에 평행한 선의 방정식을 만듭니다.

e) 점 A4를 통과하고 점 A1과 A2를 통과하는 선에 수직인 평면의 방정식을 작성합니다.

f) 점 A1 및 A4를 통과하는 직선과 점 A1, A2 및 A3을 통과하는 평면 사이의 각도의 사인을 계산합니다.

g) 좌표 평면 Oxy와 점 A1, A2 및 A3를 통과하는 평면 사이의 각도의 코사인을 계산합니다.

2.20. Oy 축과 점 M(3;–5;2)을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

번호 3.20. Oz축과 교차하도록 직선의 방정식에서 매개변수 D의 값을 찾아야 합니다.

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