Opção 20 IDZ 3.1

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Nº 1.20. O problema fornece as coordenadas de quatro pontos no espaço tridimensional: A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). As seguintes tarefas precisam ser resolvidas:

a) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3. Para fazer isso, você pode usar a fórmula da equação geral do plano: Ax + By + Cz + D = 0, onde A, B e C são os coeficientes determinados pelo produto vetorial de dois vetores situados no plano, e D é o termo livre determinado pela substituição das coordenadas de um dos pontos. A equação resultante será semelhante a: 4x + 13y - 11z - 33 = 0.

b) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A1 e A2. Para fazer isso, você pode usar a fórmula da equação paramétrica de uma linha reta: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, onde a, b e c são coeficientes orientadores, definidos como a diferença entre as coordenadas correspondentes dos pontos, e t é um parâmetro. A equação resultante será semelhante a: x = 1 + 5t, y = -1 + 6t, z = 3 + 5t.

c) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A4 e M e é perpendicular ao plano A1A2A3. Para fazer isso, você pode usar a fórmula para a equação de uma linha reta na forma paramétrica de segmento: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, onde x1, y1 , z1 são as coordenadas do ponto A4, x2, y2, z2 são as coordenadas do ponto M e t é um parâmetro. Para determinar o vetor diretor da reta, é necessário tomar o produto vetorial dos vetores MA4 e a normal ao plano A1A2A3. A equação resultante será semelhante a: x = 8 - 5t, y = 4 - 9t, z = 1 + 7t.

d) Encontre a equação de uma reta que passa pelos pontos A3 e N e paralela à reta A1A2. Para fazer isso, você pode usar a fórmula da equação paramétrica de uma linha reta, semelhante à equação da linha reta A1A2: x = 3 + t, y = 5 + 2t, z = 8 + 3t.

e) Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2. Para fazer isso, você pode usar a fórmula da equação geral do plano, semelhante à equação do plano A1A2A3, mas com coeficientes diferentes. O vetor de direção do plano coincidirá com o vetor de direção da reta A1A2. A equação resultante será semelhante a: 6x - 5y - 7z + 46 = 0.

f) Encontre o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3. Para fazer isso, você precisa encontrar o produto escalar dos vetores correspondentes às direções dessas retas e, em seguida, dividir o valor resultante pelo produto dos valores absolutos desses vetores. O seno do ângulo entre eles será igual ao módulo deste produto dividido pelo produto dos módulos dos vetores. O valor resultante será 0,82.

g) Encontre o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3. Para fazer isso, você precisa encontrar o produto escalar dos vetores normais a esses planos e, em seguida, dividir o valor resultante pelo produto dos módulos desses vetores. O cosseno do ângulo entre eles será igual ao valor resultante. O valor resultante será 0,39.

Nº 2.20. Para compilar a equação de um plano que passa pelo eixo Oy e pelo ponto M(3;–5;2), é necessário utilizar a fórmula da equação geral do plano: Ax + By + Cz + D = 0. Como o plano passa pelo eixo Oy, então os coeficientes A e C serão iguais a 0. Para determinar o coeficiente B, é necessário substituir as coordenadas do ponto M na equação e resolver a equação em relação a B. O a equação resultante será semelhante a: 5y + D = 0. Para determinar o termo livre D, é necessário substituir as coordenadas do ponto M na equação e resolver a equação em relação a D. A equação resultante será semelhante a: D = -25. Assim, a equação do plano será: 5y - 25 = 0.

Nº 3.20. Para encontrar o valor de D no qual a reta intercepta o eixo Oz, é necessário criar uma equação da reta na forma paramétrica de segmento: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, onde x1, y1, z1 são as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, x2, y2, z2 são as coordenadas de outro ponto na linha , e t é um parâmetro. Então você precisa substituir as coordenadas da reta na equação do eixo Oz, que tem a forma z = 0, e resolver a equação em relação ao parâmetro t. O valor t resultante permitirá encontrar a coordenada z do ponto de intersecção da linha com o eixo Oz.

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esta é a tarefa matemática nº 1.20, na qual são dadas as coordenadas de quatro pontos no espaço tridimensional, sendo também necessário resolver vários problemas relacionados com a determinação das equações dos planos e retas que passam por esses pontos. Os problemas utilizam fórmulas para equações gerais e paramétricas de planos e retas, bem como produtos vetoriais e escalares de vetores. Por exemplo, é necessário encontrar as equações dos planos que passam por determinados pontos e determinadas retas, bem como encontrar os ângulos entre essas retas. A resolução de problemas ajudará a melhorar sua compreensão da geometria 3D e a fortalecer suas habilidades matemáticas.

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A opção 20 IDZ 3.1 é uma tarefa de geometria que consiste em três partes.

Parte nº 1.20. Dados quatro pontos A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Necessário:

a) traçar uma equação do plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3;

b) compor uma equação de uma reta que passa pelos pontos A1 e A2;

c) criar uma equação para uma reta que passa pelo ponto A4 e perpendicular ao plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3;

d) criar uma equação de uma reta paralela à reta que passa pelos pontos A1 e A2, e que passa pelo ponto A3;

e) traçar a equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta que passa pelos pontos A1 e A2;

f) calcular o seno do ângulo entre a reta que passa pelos pontos A1 e A4 e o plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3;

g) calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3.

Nº 2.20. É necessário criar uma equação para um plano que passa pelo eixo Oy e pelo ponto M(3;–5;2).

Nº 3.20. É necessário encontrar o valor do parâmetro D na equação da reta para que ela cruze o eixo Oz.

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