Opzione 20 IDZ 3.1

N. 1.20. Il problema fornisce le coordinate di quattro punti nello spazio tridimensionale: A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). È necessario risolvere i seguenti compiti:

a) Trovare l'equazione del piano passante per i punti A1, A2 e A3. Per fare ciò, puoi utilizzare la formula per l'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0, dove A, B e C sono i coefficienti determinati dal prodotto vettoriale di due vettori che giacciono nel piano e D è il termine libero determinato sostituendo le coordinate di uno dei punti . L'equazione risultante sarà: 4x + 13y - 11z - 33 = 0.

b) Trovare l'equazione della retta passante per i punti A1 e A2. Per fare ciò è possibile utilizzare la formula dell'equazione parametrica di una retta: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, dove a, b e c sono coefficienti guida, definiti come differenza tra le coordinate corrispondenti dei punti e t è un parametro. L'equazione risultante sarà simile a: x = 1 + 5t, y = -1 + 6t, z = 3 + 5t.

c) Trovare l'equazione della retta passante per i punti A4 e M e perpendicolare al piano A1A2A3. Per fare ciò, puoi utilizzare la formula per l'equazione di una linea retta in forma parametrica del segmento: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, dove x1, y1 , z1 sono le coordinate del punto A4, x2, y2, z2 sono le coordinate del punto M e t è un parametro. Per determinare il vettore direzione della retta è necessario prendere il prodotto vettoriale dei vettori MA4 e la normale al piano A1A2A3. L'equazione risultante sarà simile a: x = 8 - 5t, y = 4 - 9t, z = 1 + 7t.

d) Trovare l'equazione di una retta passante per i punti A3 e N e parallela alla retta A1A2. Per fare ciò, puoi utilizzare la formula per l'equazione parametrica di una retta, simile all'equazione della retta A1A2: x = 3 + t, y = 5 + 2t, z = 8 + 3t.

e) Trovare l'equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2. Per fare ciò si può utilizzare la formula dell'equazione generale del piano, simile all'equazione del piano A1A2A3, ma con coefficienti diversi. Il vettore direzione del piano coinciderà con il vettore direzione della retta A1A2. L'equazione risultante sarà: 6x - 5y - 7z + 46 = 0.

f) Trovare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3. Per fare ciò, è necessario trovare il prodotto scalare dei vettori corrispondenti alle direzioni di queste linee, quindi dividere il valore risultante per il prodotto dei valori assoluti di questi vettori. Il seno dell'angolo compreso tra loro sarà uguale al modulo di questo prodotto diviso per il prodotto dei moduli dei vettori. Il valore risultante sarà 0,82.

g) Trovare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3. Per fare ciò, devi trovare il prodotto scalare dei vettori normali a questi piani, quindi dividere il valore risultante per il prodotto dei moduli di questi vettori. Il coseno dell'angolo tra loro sarà uguale al valore risultante. Il valore risultante sarà 0,39.

N. 2.20. Per compilare l'equazione di un piano passante per l'asse Oy e il punto M(3;–5;2), è necessario utilizzare la formula per l'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0. Poiché il piano passa per l'asse Oy, i coefficienti A e C saranno uguali a 0. Per determinare il coefficiente B, è necessario sostituire le coordinate del punto M nell'equazione e risolvere l'equazione rispetto a B. l'equazione risultante sarà simile a: 5y + D = 0. Per determinare il termine libero D, è necessario sostituire le coordinate del punto M nell'equazione e risolvere l'equazione rispetto a D. L'equazione risultante sarà simile a: D = -25. Pertanto, l'equazione del piano sarà: 5y - 25 = 0.

N. 3.20. Per trovare il valore di D in cui la retta interseca l'asse Oz è necessario creare un'equazione della retta in forma segmento parametrica: x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, dove x1, y1, z1 sono le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea, x2, y2, z2 sono le coordinate di un altro punto sulla linea , e t è un parametro. Quindi è necessario sostituire le coordinate della retta nell'equazione dell'asse Oz, che ha la forma z = 0, e risolvere l'equazione rispetto al parametro t. Il valore t risultante ti permetterà di trovare la coordinata z del punto di intersezione della linea con l'asse Oz.

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questo è il compito matematico n. 1.20, in cui vengono fornite le coordinate di quattro punti nello spazio tridimensionale, ed è anche necessario risolvere diversi problemi relativi alla determinazione delle equazioni dei piani e delle linee che passano attraverso questi punti. I problemi utilizzano formule per equazioni generali e parametriche di piani e rette, nonché prodotti vettoriali e scalari di vettori. Ad esempio, è necessario trovare le equazioni dei piani che passano per determinati punti e determinate linee, nonché trovare gli angoli tra queste linee. Risolvere i problemi ti aiuterà a migliorare la tua comprensione della geometria 3D e a rafforzare le tue abilità matematiche.

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L'opzione 20 IDZ 3.1 è un compito di geometria composto da tre parti.

Parte n. 1.20. Dati quattro punti A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Necessario:

a) redigere l'equazione del piano passante per i punti A1, A2 e A3;

b) comporre l'equazione di una retta passante per i punti A1 e A2;

c) creare un'equazione per una retta passante per il punto A4 e perpendicolare al piano passante per i punti A1, A2 e A3;

d) creare un'equazione di una retta parallela alla retta passante per i punti A1 e A2 e passante per il punto A3;

e) elaborare l'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta passante per i punti A1 e A2;

f) calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta passante per i punti A1 e A4 e dal piano passante per i punti A1, A2 e A3;

g) calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano passante per i punti A1, A2 e A3.

N. 2.20. È necessario creare un'equazione per un piano passante per l'asse Oy e il punto M(3;–5;2).

N. 3.20. È necessario trovare il valore del parametro D nell'equazione della retta in modo che intersechi l'asse Oz.

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