Option 20 IDZ 3.1

N° 1.20. Le problème donne les coordonnées de quatre points dans un espace tridimensionnel : A1(1;–1;3) ; A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Les tâches suivantes doivent être résolues :

a) Trouver l'équation du plan passant par les points A1, A2 et A3. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'équation générale du plan : Ax + By + Cz + D = 0, où A, B et C sont les coefficients déterminés par le produit vectoriel de deux vecteurs situés dans le plan, et D est le terme libre déterminé en substituant les coordonnées d'un des points. L'équation résultante ressemblera à : 4x + 13y - 11z - 33 = 0.

b) Trouver l'équation de la droite passant par les points A1 et A2. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'équation paramétrique d'une droite : x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, où a, b et c sont des coefficients directeurs, définis comme la différence entre les coordonnées correspondantes des points, et t est un paramètre. L'équation résultante ressemblera à : x = 1 + 5t, y = -1 + 6t, z = 3 + 5t.

c) Trouver l'équation de la droite passant par les points A4 et M et perpendiculaire au plan A1A2A3. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'équation d'une droite sous forme paramétrique de segment : x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, où x1, y1 , z1 sont les coordonnées du point A4, x2, y2, z2 sont les coordonnées du point M, et t est un paramètre. Pour déterminer le vecteur direction de la droite, il faut prendre le produit vectoriel des vecteurs MA4 et la normale au plan A1A2A3. L'équation résultante ressemblera à : x = 8 - 5t, y = 4 - 9t, z = 1 + 7t.

d) Trouver l'équation d'une droite passant par les points A3 et N et parallèle à la droite A1A2. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'équation paramétrique d'une droite, similaire à l'équation de la droite A1A2 : x = 3 + t, y = 5 + 2t, z = 8 + 3t.

e) Trouver l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de l'équation générale du plan, similaire à l'équation du plan A1A2A3, mais avec des coefficients différents. Le vecteur direction du plan coïncidera avec le vecteur direction de la droite A1A2. L'équation résultante ressemblera à : 6x - 5y - 7z + 46 = 0.

f) Trouvez le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3. Pour ce faire, vous devez trouver le produit scalaire des vecteurs correspondant aux directions de ces droites, puis diviser la valeur résultante par le produit des valeurs absolues de ces vecteurs. Le sinus de l'angle qui les sépare sera égal au module de ce produit divisé par le produit des modules des vecteurs. La valeur résultante sera de 0,82.

g) Trouver le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3. Pour ce faire, vous devez trouver le produit scalaire des vecteurs normaux à ces plans, puis diviser la valeur résultante par le produit des modules de ces vecteurs. Le cosinus de l'angle entre eux sera égal à la valeur résultante. La valeur résultante sera de 0,39.

N° 2.20. Pour compiler l'équation d'un plan passant par l'axe Oy et le point M(3;–5;2), il faut utiliser la formule de l'équation générale du plan : Ax + By + Cz + D = 0. Puisque le plan passe par l'axe Oy, alors les coefficients A et C seront égaux à 0. Pour déterminer le coefficient B, il faut substituer les coordonnées du point M dans l'équation et résoudre l'équation par rapport à B. Le L'équation résultante ressemblera à : 5y + D = 0. Pour déterminer le terme libre D, il est nécessaire de substituer les coordonnées du point M dans l'équation et de résoudre l'équation par rapport à D. L'équation résultante ressemblera à : D = -25. Ainsi, l'équation du plan sera : 5y - 25 = 0.

N° 3.20. Afin de trouver la valeur de D à laquelle la droite coupe l'axe Oz, il est nécessaire de créer une équation de la droite sous forme paramétrique de segment : x = x1 + (x2 - x1)t, y = y1 + (y2 - y1)t, z = z1 + (z2 - z1)t, où x1, y1, z1 sont les coordonnées du point par lequel passe la ligne, x2, y2, z2 sont les coordonnées d'un autre point de la ligne , et t est un paramètre. Ensuite, vous devez substituer les coordonnées de la ligne droite dans l'équation de l'axe Oz, qui a la forme z = 0, et résoudre l'équation par rapport au paramètre t. La valeur t résultante vous permettra de trouver la coordonnée z du point d'intersection de la ligne avec l'axe Oz.

Le produit « Option 20 IDZ 3.1 » est un produit numérique destiné à être utilisé à des fins pédagogiques. Il est disponible dans la boutique numérique et constitue un ensemble de problèmes mathématiques.

Chaque problème comprend un ensemble de données qui doivent être traitées et résolues à l'aide de méthodes mathématiques appropriées. Toutes les tâches sont accomplies conformément aux exigences du programme et peuvent être utilisées à la fois pour des études indépendantes et pour la préparation aux examens.

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il s'agit de la tâche mathématique n° 1.20, dans laquelle sont données les coordonnées de quatre points dans l'espace tridimensionnel, et il faut également résoudre plusieurs problèmes liés à la détermination des équations des plans et des droites passant par ces points. Les problèmes utilisent des formules pour les équations générales et paramétriques des plans et des lignes, ainsi que les produits vectoriels et scalaires des vecteurs. Par exemple, il faut trouver les équations des plans passant par certains points et des droites données, ainsi que trouver les angles entre ces droites. Résoudre des problèmes vous aidera à améliorer votre compréhension de la géométrie 3D et à renforcer vos compétences en mathématiques.

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L'option 20 IDZ 3.1 est une tâche de géométrie composée de trois parties.

Numéro de pièce 1.20. Étant donné quatre points A1(1;–1;3); A2(6;5;8); A3(3;5;8); A4(8;4;1). Nécessaire:

a) établir une équation du plan passant par les points A1, A2 et A3 ;

b) composer une équation d'une droite passant par les points A1 et A2 ;

c) créer une équation pour une droite passant par le point A4 et perpendiculaire au plan passant par les points A1, A2 et A3 ;

d) créer une équation d'une droite parallèle à la droite passant par les points A1 et A2, et passant par le point A3 ;

e) établir l'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite passant par les points A1 et A2 ;

f) calculer le sinus de l'angle entre la droite passant par les points A1 et A4 et le plan passant par les points A1, A2 et A3 ;

g) calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan passant par les points A1, A2 et A3.

N° 2.20. Il faut créer une équation pour un plan passant par l'axe Oy et le point M(3;–5;2).

N° 3.20. Il faut trouver la valeur du paramètre D dans l'équation de la droite pour qu'elle coupe l'axe Oz.

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