选项 17 IDS 2.1

IDZ – 2.1 第 1.17 号。对于给定向量 $a = \alpha \cdot m + \beta \cdot n; b = \gamma\cdot m + \delta \cdot n; |米| = k; |n| = \ell; (m;n) = \varphi;$ 必须找到：

a) $(\lambda \cdot a + \mu \cdot b) \cdot (\nu \cdot a + \tau \cdot b);$

b) 将 $(\nu \cdot a + \tau \cdot b)$ 投影到 $b;$

в) $\cos(a + \tau \cdot b).$

Дано: $\alpha = 5; β=-2； γ = 3; δ = 4； k = 2； \ell = 5; \varphi = \pi/2; λ = 2; \mu = 3; \nu = 1; \tau = -2.$

第 2.17 号。对于坐标为 $A、B$ 和 $C$ 的向量，您需要找到：

a) 向量 $a;$ 的模

b) 向量$a$和$b;$的标量积

c) 将向量 $c$ 投影到向量 $d;$

d) 点$M,$在关系$\alpha.$中划分线段$\ell$的坐标

希望：$A(4;5;3); B(-4;2;3); C(5;-6;-2).$

第 3.17 号。需要证明向量$a、b$和$c$构成一个基，并求出向量$d$在这个基上的坐标。

希望：$a(7;2;1); b(5;1;-2); c(-3;4;5); d(26;11;1).$

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IDZ 2.1 No. 1.17 是一项使用向量和数值系数的数据查找一些表达式的任务。向量 a 和 b 给出如下：a = 5m - 2n，b = 3m + 4n，|m| = 2, |n| = 5，(m；n) = π/2。任务包括三点：

a) 找到 (λa + μb)·(νa + τb) 的表达式。解决方案包括替换给定值、向量相乘以及结果相加。

b) 求向量 νa + τb 在向量 b 上的投影。为了解决这一点，需要求向量νa + τb在向量b方向上的投影，计算公式为(νa + τb)·(b/|b|)·(b/|b|) ）。

c) 求 cos(a + τb) 的值。为此，您需要计算向量 a 和 b 的标量积的值以及它们的长度，然后应用公式计算向量之间的余弦角。

IDZ 2.1 No. 2.17 是计算由点 A、B 和 C 的坐标给出的向量的各种特征的问题。给定的向量被指定为 a、b 和 c。

a) 求向量 a 的模。这是使用公式 |a| 计算的= sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2)，其中 a1、a2 和 a3 是向量 a 的坐标。

b) 求向量 a 和 b 的标量积。计算公式为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3，其中a1、a2和a3是矢量a的坐标，b1、b2和b3是矢量b的坐标。

c) 求向量 c 在向量 d 上的投影。矢量 c 到矢量 d 的投影由公式 (c·d/|d|^2)·d 计算，其中 c·d 是矢量 c 和 d 的标量积，|d|^2 是平方向量 d 的长度。

d) 求相对于 α 划分线段 ℓ 的点 M 的坐标。点 M 的坐标可使用公式 x = (1-α)A1 + αB1、y = (1-α)A2 + αB2、z = (1-α)A3 + αB3 求出，其中 A1、A2、A3是A点的坐标，B1、B2、B3是B点的坐标，x、y、z是M点的坐标。

IDZ 2.1 No. 3.17 的任务是在向量 a、b 和 c 形成的基中找到向量 d 的坐标，并证明这些向量构成基。

a) 证明向量 a、b 和 c 构成基。为了证明这一点，有必要证明这些向量是线性无关的，并且任何向量都可以用它们的线性组合来表示。

b) 求向量d在基a、b、c中的坐标。为此，需要使用系数为所需坐标的方程组，通过向量 a、b 和 c 的线性组合来表达向量 d。然后，通过求解该方程组，您可以在a、b和c的基础上找到向量d的坐标。

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