Opção 17 IDS 2.1

ZID – 2.1 Nº 1.17. Para determinados vetores $a = \alpha \cdot m + \beta \cdot n; b = \gamma \cdot m + \delta \cdot n; |m| =k; |n| = \el; (m;n) = \varphi;$ deve ser encontrado:

a) $(\lambda \cdot a + \mu \cdot b) \cdot (\nu \cdot a + \tau \cdot b);$

b) projeção de $(\nu \cdot a + \tau \cdot b)$ em $b;$

в) $\cos(a + \tau \cdot b).$

Dano: $\alpha = 5; \beta = -2; \gama = 3; \delta = 4; k = 2; \el = 5; \varphi = \pi/2; \lambda = 2; \mu = 3; \nu = 1; \tau = -2.$

Nº 2.17. Para vetores com coordenadas dos pontos $A, B$ e $C$, você precisa encontrar:

a) módulo do vetor $a;$

b) produto escalar dos vetores $a$ e $b;$

c) projeção do vetor $c$ no vetor $d;$

d) coordenadas do ponto $M,$ que divide o segmento $\ell$ em relação $\alpha.$

Esperançosamente: $A(4;5;3); B(-4;2;3); C(5;-6;-2).$

Nº 3.17. É necessário provar que os vetores $a, b$ e $c$ formam uma base, e encontrar as coordenadas do vetor $d$ nesta base.

Esperançosamente: $a(7;2;1); b(5;1;-2); c(-3;4;5); d(26;11;1).$

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IDZ 2.1 No. 1.17 é uma tarefa de encontrar algumas expressões usando dados de vetores e coeficientes numéricos. Os vetores a e b são dados da seguinte forma: a = 5m - 2n, b = 3m + 4n, |m| = 2, |n| = 5, (m;n) = π/2. A tarefa consiste em três pontos:

a) Encontre uma expressão para (λa + μb)·(νa + τb). A solução consiste em substituir os valores dados, multiplicar os vetores e somar os resultados.

b) Encontre a projeção do vetor νa + τb no vetor b. Para resolver este ponto, é necessário encontrar a projeção do vetor νa + τb na direção do vetor b, que é calculada como (νa + τb)·(b/|b|)·(b/|b| ).

c) Encontre o valor de cos(a + τb). Para fazer isso, você precisa calcular o valor do produto escalar dos vetores aeb, bem como seu comprimento, e então aplicar a fórmula para encontrar o ângulo cos entre os vetores.

IDZ 2.1 No. 2.17 é um problema de cálculo de várias características de vetores dados pelas coordenadas dos pontos A, B e C. Os vetores dados são designados como a, b e c.

a) Encontre o módulo do vetor a. Isso é calculado usando a fórmula |a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2), onde a1, a2 e a3 são as coordenadas do vetor a.

b) Encontre o produto escalar dos vetores a e b. Isto é calculado pela fórmula a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3, onde a1, a2 e a3 são as coordenadas do vetor a, e b1, b2 e b3 são as coordenadas do vetor b.

c) Encontre a projeção do vetor c no vetor d. A projeção do vetor c no vetor d é calculada pela fórmula (c·d/|d|^2)·d, onde c·d é o produto escalar dos vetores c e d, e |d|^2 é o quadrado do comprimento do vetor d.

d) Encontre as coordenadas do ponto M que divide o segmento ℓ em relação a α. As coordenadas do ponto M podem ser encontradas usando as fórmulas x = (1-α)A1 + αB1, y = (1-α)A2 + αB2, z = (1-α)A3 + αB3, onde A1, A2, A3 são as coordenadas do ponto A, B1, B2, B3 são as coordenadas do ponto B e x, y, z são as coordenadas do ponto M.

IDZ 2.1 nº 3.17 é uma tarefa para encontrar as coordenadas do vetor d na base formada pelos vetores a, b e c, e provar que esses vetores formam a base.

a) Prove que os vetores a, b e c formam uma base. Para provar isto, é necessário mostrar que estes vetores são linearmente independentes e que qualquer vetor pode ser expresso em termos deles por uma combinação linear.

b) Encontre as coordenadas do vetor d nas bases a, b e c. Para isso, é necessário expressar o vetor d através de uma combinação linear dos vetores a, b e c, utilizando um sistema de equações onde os coeficientes serão as coordenadas desejadas. Então, resolvendo este sistema de equações, você pode encontrar as coordenadas do vetor d na base de a, b e c.

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