Option 17 IDS 2.1

IDZ – 2.1 n° 1.17. Pour des vecteurs donnés $a = \alpha \cdot m + \beta \cdot n; b = \gamma \cdot m + \delta \cdot n; |m| =k; |n| = \ell; (m;n) = \varphi;$ doit être trouvé :

a) $(\lambda \cdot a + \mu \cdot b) \cdot (\nu \cdot a + \tau \cdot b);$

b) projection de $(\nu \cdot a + \tau \cdot b)$ sur $b;$

в) $\cos(a + \tau \cdot b).$

Donc : $\alpha = 5 ; \bêta = -2; \gamma = 3; \delta = 4; k = 2 ; \ell = 5; \varphi = \pi/2; \lambda = 2; \mu = 3; \nu = 1 ; \tau = -2.$

N ° 2.17. Pour les vecteurs avec les coordonnées des points $A, B$ et $C$, vous devez trouver :

a) module du vecteur $a;$

b) produit scalaire des vecteurs $a$ et $b;$

c) projection du vecteur $c$ sur le vecteur $d;$

d) coordonnées du point $M,$ divisant le segment $\ell$ par rapport $\alpha.$

Espérons que : $A(4;5;3); B(-4;2;3); C(5;-6;-2).$

N° 3.17. Il faut prouver que les vecteurs $a, b$ et $c$ forment une base, et trouver les coordonnées du vecteur $d$ dans cette base.

Espérons que : $a(7;2;1); b(5;1;-2); c(-3;4;5); d(26;11;1).$

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IDZ 2.1 n° 1.17 est une tâche consistant à trouver certaines expressions en utilisant des données provenant de vecteurs et de coefficients numériques. Les vecteurs a et b sont donnés comme suit : a = 5m - 2n, b = 3m + 4n, |m| = 2, |n| = 5, (m;n) = π/2. La tâche comprend trois points :

a) Trouvez une expression pour (λa + μb)·(νa + τb). La solution consiste à substituer les valeurs données, à multiplier les vecteurs et à additionner les résultats.

b) Trouver la projection du vecteur νa + τb sur le vecteur b. Pour résoudre ce point, il est nécessaire de trouver la projection du vecteur νa + τb sur la direction du vecteur b, qui est calculée comme (νa + τb)·(b/|b|)·(b/|b| ).

c) Trouvez la valeur de cos(a + τb). Pour ce faire, vous devez calculer la valeur du produit scalaire des vecteurs a et b, ainsi que leur longueur, puis appliquer la formule pour trouver l'angle cosinus entre les vecteurs.

IDZ 2.1 n° 2.17 est un problème de calcul de diverses caractéristiques de vecteurs données par les coordonnées des points A, B et C. Les vecteurs donnés sont désignés par a, b et c.

a) Trouver le module du vecteur a. Ceci est calculé à l'aide de la formule |a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2), où a1, a2 et a3 sont les coordonnées du vecteur a.

b) Trouvez le produit scalaire des vecteurs a et b. Ceci est calculé par la formule a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3, où a1, a2 et a3 sont les coordonnées du vecteur a, et b1, b2 et b3 sont les coordonnées du vecteur b.

c) Trouvez la projection du vecteur c sur le vecteur d. La projection du vecteur c sur le vecteur d est calculée par la formule (c·d/|d|^2)·d, où c·d est le produit scalaire des vecteurs c et d, et |d|^2 est le carré de la longueur du vecteur d.

d) Trouver les coordonnées du point M qui divise le segment ℓ par rapport à α. Les coordonnées du point M peuvent être trouvées à l'aide des formules x = (1-α)A1 + αB1, y = (1-α)A2 + αB2, z = (1-α)A3 + αB3, où A1, A2, A3 sont les coordonnées du point A, B1, B2, B3 sont les coordonnées du point B, et x, y, z sont les coordonnées du point M.

IDZ 2.1 n° 3.17 est une tâche visant à trouver les coordonnées du vecteur d dans la base formée par les vecteurs a, b et c, et à prouver que ces vecteurs constituent la base.

a) Montrer que les vecteurs a, b et c forment une base. Pour le prouver, il est nécessaire de montrer que ces vecteurs sont linéairement indépendants et que tout vecteur peut être exprimé en fonction d’eux par une combinaison linéaire.

b) Trouver les coordonnées du vecteur d dans la base a, b et c. Pour ce faire, il faut exprimer le vecteur d à travers une combinaison linéaire de vecteurs a, b et c, en utilisant un système d'équations où les coefficients seront les coordonnées souhaitées. Ensuite, en résolvant ce système d’équations, vous pouvez trouver les coordonnées du vecteur d dans la base de a, b et c.

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