Option 17 IDS 2.1

IDZ – 2.1 Nr. 1.17. Für gegebene Vektoren $a = \alpha \cdot m + \beta \cdot n; b = \gamma \cdot m + \delta \cdot n; |m| = k; |n| = \ell; (m;n) = \varphi;$ muss gefunden werden:

a) $(\lambda \cdot a + \mu \cdot b) \cdot (\nu \cdot a + \tau \cdot b);$

b) Projektion von $(\nu \cdot a + \tau \cdot b)$ auf $b;$

в) $\cos(a + \tau \cdot b).$

Bedeutung: $\alpha = 5; \beta = -2; \gamma = 3; \delta = 4; k = 2; \ell = 5; \varphi = \pi/2; \lambda = 2; \mu = 3; \nu = 1; \tau = -2.$

Nr. 2.17. Für Vektoren mit den Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ müssen Sie Folgendes finden:

a) Modul des Vektors $a;$

b) Skalarprodukt der Vektoren $a$ und $b;$

c) Projektion des Vektors $c$ auf den Vektor $d;$

d) Koordinaten des Punktes $M,$, der das Segment $\ell$ im Verhältnis $\alpha.$ teilt

Hoffentlich: $A(4;5;3); B(-4;2;3); C(5;-6;-2).$

Nr. 3.17. Es ist notwendig zu beweisen, dass die Vektoren $a, b$ und $c$ eine Basis bilden, und die Koordinaten des Vektors $d$ in dieser Basis zu finden.

Hoffentlich: $a(7;2;1); b(5;1;-2); c(-3;4;5); d(26;11;1).$

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IDZ 2.1 Nr. 1.17 ist eine Aufgabe, einige Ausdrücke mithilfe von Daten aus Vektoren und numerischen Koeffizienten zu finden. Die Vektoren a und b sind wie folgt gegeben: a = 5m - 2n, b = 3m + 4n, |m| = 2, |n| = 5, (m;n) = π/2. Die Aufgabe besteht aus drei Punkten:

a) Finden Sie einen Ausdruck für (λa + μb)·(νa + τb). Die Lösung besteht darin, die gegebenen Werte zu ersetzen, die Vektoren zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren.

b) Finden Sie die Projektion des Vektors νa + τb auf den Vektor b. Um diesen Punkt zu lösen, muss die Projektion des Vektors νa + τb auf die Richtung des Vektors b ermittelt werden, die wie folgt berechnet wird: (νa + τb)·(b/|b|)·(b/|b| ).

c) Finden Sie den Wert von cos(a + τb). Dazu müssen Sie den Wert des Skalarprodukts der Vektoren a und b sowie deren Länge berechnen und dann die Formel anwenden, um den Kosinuswinkel zwischen den Vektoren zu ermitteln.

IDZ 2.1 Nr. 2.17 ist ein Problem zur Berechnung verschiedener Eigenschaften von Vektoren, die durch die Koordinaten der Punkte A, B und C gegeben sind. Die gegebenen Vektoren werden als a, b und c bezeichnet.

a) Finden Sie den Modul des Vektors a. Dies wird mit der Formel |a| berechnet = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2), wobei a1, a2 und a3 die Koordinaten des Vektors a sind.

b) Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b. Dies wird durch die Formel a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 berechnet, wobei a1, a2 und a3 die Koordinaten des Vektors a und b1, b2 und b3 die Koordinaten des Vektors b sind.

c) Finden Sie die Projektion des Vektors c auf den Vektor d. Die Projektion des Vektors c auf den Vektor d wird durch die Formel (c·d/|d|^2)·d berechnet, wobei c·d das Skalarprodukt der Vektoren c und d und |d|^2 das Quadrat ist der Länge des Vektors d.

d) Finden Sie die Koordinaten des Punktes M, der das Segment ℓ im Verhältnis zu α teilt. Die Koordinaten des Punktes M können mithilfe der Formeln x = (1-α)A1 + αB1, y = (1-α)A2 + αB2, z = (1-α)A3 + αB3 ermittelt werden, wobei A1, A2, A3 sind die Koordinaten von Punkt A, B1, B2, B3 sind die Koordinaten von Punkt B und x, y, z sind die Koordinaten von Punkt M.

IDZ 2.1 Nr. 3.17 besteht darin, die Koordinaten des Vektors d in der durch die Vektoren a, b und c gebildeten Basis zu finden und zu beweisen, dass diese Vektoren die Basis bilden.

a) Beweisen Sie, dass die Vektoren a, b und c eine Basis bilden. Um dies zu beweisen, muss gezeigt werden, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und dass jeder Vektor durch eine lineare Kombination durch sie ausgedrückt werden kann.

b) Finden Sie die Koordinaten des Vektors d in der Basis a, b und c. Dazu muss der Vektor d durch eine lineare Kombination der Vektoren a, b und c ausgedrückt werden, wobei ein Gleichungssystem verwendet wird, dessen Koeffizienten die gewünschten Koordinaten sind. Durch Lösen dieses Gleichungssystems können Sie dann die Koordinaten des Vektors d in der Basis von a, b und c ermitteln.

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