Kepe O.E 收集的问题 13.4.5 的解决方案

13.4.5 对于悬挂在弹簧上的质量 t = 0.5 kg 的振荡运动，微分方程的形式为 y + 60y = 0。需要确定弹簧刚度系数。 （答案30）

为了解决这个问题，需要使用振荡运动微分方程的公式：

米 u'' + k u = 0,

其中 m 是负载质量，k 是弹簧刚度系数。

将已知值代入这个公式，我们得到：

0.5 u'' + k u = 0。

为了进一步求解该方程，需要找到以下形式的方程的通解：

у = A cos(ωt + φ),

其中 A 是振荡幅度，ω 是圆频率，φ 是初始相位。

对这个函数进行两次微分，我们得到：

у'' = -A ω^2 cos(ωt + φ)。

将求得的值代入原微分方程，可得：

-0.5 A ω^2 cos(ωt + φ) + k A cos(ωt + φ) = 0。

该方程对于任何 t 都有效，因此可以消除余弦：

-0.5 A ω^2 + k A = 0。

根据该方程表达弹簧刚度系数，我们得到：

k = 0.5 ω^2。

代入频率值 ω = 2πf = 2π/T = 2π√(k/m)，可得：

k = (2π/T)^2 m = (2π/1)^2 0.5 = 4π^2 × 0.5 = 2π^2。

因此，弹簧刚度系数为：

k = 2π^2 ≈ 19,739。

答案：19.739（最接近的整数是 20）。

因此，解决了这个问题后，我们发现传统单位的弹簧刚度系数等于20。

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该问题提出了一个悬挂在弹簧上的重 0.5 kg 负载的振荡运动微分方程，可写为 y + 60y = 0，其中 y 是时间函数，描述负载相对于平衡位置的位移。

为了解决这个问题，需要确定弹簧刚度系数。

为此，您可以使用描述悬挂在刚度为 k 的弹簧上的负载的振荡运动的公式：

my'' + ky = 0,

其中m是负载的质量，y是时间的函数，描述负载相对于平衡位置的位移，y''是函数y对时间的二阶导数。

通过将该公式与问题方程进行比较，我们可以得出弹簧刚度系数与负载质量之间的关系：

k = m*w^2,

其中 w 是振荡频率。

该问题给出了形式为 y + 60y = 0 的振荡运动方程。与一般公式相比，可以看到振荡频率为 sqrt(60)，负载质量为 0.5 kg。将这些值代入弹簧刚度系数的公式，我们得到：

k = 0.5*(sqrt(60))^2 = 30。

因此，弹簧常数为30，这就是问题的答案。

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