Kepe O.E 컬렉션의 문제 13.4.5에 대한 솔루션입니다.

13.4.5 스프링에 매달린 질량 t = 0.5 kg의 진동 운동에 대해 미분 방정식은 y + 60y = 0 형식을 갖습니다. 스프링 강성 계수를 결정하는 것이 필요합니다. (답변 30)

이 문제를 해결하려면 진동 운동의 미분 방정식에 대한 공식을 사용해야 합니다.

중 u'' + k u = 0,

여기서 m은 하중의 질량이고, k는 스프링 강성 계수입니다.

이 공식에 알려진 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

0.5u'' + ku = 0.

이 방정식을 더 풀려면 다음 형식의 방정식에 대한 일반적인 해를 찾아야 합니다.

у = Acos(Ωt + ψ),

여기서 A는 진동의 진폭, Ω는 원형 주파수, ψ는 초기 위상입니다.

이 함수를 두 번 미분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

у'' = -A Ω^2 cos(Ωt + ψ).

발견된 값을 원래 미분 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.

-0.5A Ω^2 cos(Ωt + ψ) + k A cos(Ωt + ψ) = 0.

이 방정식은 모든 t에 대해 유효하므로 코사인을 제거할 수 있습니다.

-0.5A Ω^2 + kA = 0.

이 방정식으로부터 스프링 강성 계수를 표현하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

k = 0.5 Ω^2.

주파수 값 Ω = 2πf = 2π/T = 2π√(k/m)을 대체하면 다음을 얻습니다.

k = (2π/T)^2 m = (2π/1)^2 0.5 = 4π^2 × 0.5 = 2π^2.

따라서 스프링 강성 계수는 ​​다음과 같습니다.

k = 2π^2 ≒ 19,739.

답: 19.739(가장 가까운 정수는 20).

따라서 이 문제를 해결한 결과 스프링 강성 계수가 기존 단위에서 20과 동일하다는 것을 발견했습니다.

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문제를 해결하려면 진동 운동의 미분 방정식에 대한 공식을 사용하고 y = A cos(Ωt + ψ) 형식의 방정식에 대한 일반적인 해를 찾아야 합니다. 여기서 A는 진동의 진폭이고 Ω는 원형 주파수, ψ는 초기 위상입니다. 찾은 값을 원래의 미분 방정식에 대입하면 스프링 강성 계수를 결정하는 공식을 얻을 수 있습니다.

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이 제품은 Kepe O.? 컬렉션의 문제 13.4.5에 대한 솔루션입니다.

이 문제는 스프링에 매달린 0.5kg 무게의 하중의 진동 운동에 대한 미분 방정식을 제시합니다. 이는 y + 60y = 0으로 작성됩니다. 여기서 y는 평형 위치에서 하중의 변위를 설명하는 시간 함수입니다.

문제를 해결하기 위해서는 스프링 강성계수를 결정하는 것이 필요하다.

이를 위해 강성 k를 갖는 스프링에 매달린 하중의 진동 운동을 설명하는 공식을 사용할 수 있습니다.

my'' + k와이 = 0,

여기서 m은 하중의 질량이고, y는 평형 위치에서 하중의 변위를 나타내는 시간의 함수이며, y''는 시간에 대한 함수 y의 2차 도함수입니다.

이 공식을 문제의 방정식과 비교함으로써 스프링 강성 계수와 하중 질량 사이의 관계를 도출할 수 있습니다.

k = m*w^2,

여기서 w는 발진 주파수입니다.

문제는 y + 60y = 0 형식의 진동 운동 방정식을 제공합니다. 일반 공식과 비교하면 진동 주파수는 sqrt(60)이고 하중의 질량은 0.5kg임을 알 수 있습니다. 이 값을 스프링 강성 계수 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

k = 0.5*(sqrt(60))^2 = 30.

따라서 스프링 상수는 30이 되며, 이것이 문제의 답이다.

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