Solution au problème 13.4.5 de la collection Kepe O.E.

13.4.5 Pour le mouvement oscillatoire d'une masse t = 0,5 kg suspendue à un ressort, l'équation différentielle a la forme y + 60y = 0. Il est nécessaire de déterminer le coefficient de raideur du ressort. (Réponse 30)

Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'utiliser la formule de l'équation différentielle du mouvement oscillatoire :

m tu'' + k tu = 0,

où m est la masse de la charge, k est le coefficient de raideur du ressort.

En substituant les valeurs connues dans cette formule, nous obtenons :

0,5 u'' + k u = 0.

Pour résoudre davantage cette équation, il est nécessaire de trouver une solution générale à une équation de la forme :

у = A cos(ωt + φ),

où A est l'amplitude des oscillations, ω est la fréquence circulaire, φ est la phase initiale.

En différenciant cette fonction deux fois, on obtient :

у'' = -A ω^2 cos(ωt + φ).

En substituant les valeurs trouvées dans l'équation différentielle d'origine, nous obtenons :

-0,5 A ω^2 cos(ωt + φ) + k A cos(ωt + φ) = 0.

Cette équation est valable pour tout t, donc le cosinus peut être éliminé :

-0,5 A ω^2 + k A = 0.

En exprimant le coefficient de raideur du ressort à partir de cette équation, nous obtenons :

k = 0,5 ω^2.

En remplaçant la valeur de fréquence ω = 2πf = 2π/T = 2π√(k/m), nous obtenons :

k = (2π/T)^2 m = (2π/1)^2 0,5 = 4π^2 × 0,5 = 2π^2.

Ainsi, le coefficient de raideur du ressort est :

k = 2π^2 ≈ 19 739.

Réponse : 19,739 (le nombre entier le plus proche est 20).

Ainsi, après avoir résolu ce problème, nous avons constaté que le coefficient de rigidité du ressort est égal à 20 dans les unités conventionnelles.

Solution au problème 13.4.5 de la collection Kepe O..

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Le produit est la solution au problème 13.4.5 de la collection de Kepe O.?.

Ce problème présente une équation différentielle pour le mouvement oscillatoire d'une charge pesant 0,5 kg suspendue à un ressort, qui s'écrit y + 60y = 0, où y est une fonction du temps qui décrit le déplacement de la charge depuis la position d'équilibre.

Pour résoudre le problème, il est nécessaire de déterminer le coefficient de rigidité du ressort.

Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule qui décrit le mouvement oscillatoire d'une charge suspendue à un ressort de raideur k :

my'' + ky = 0,

où m est la masse de la charge, y est une fonction du temps, décrivant le déplacement de la charge depuis la position d'équilibre, y'' est la dérivée seconde de la fonction y par rapport au temps.

En comparant cette formule avec l'équation du problème, nous pouvons déduire la relation entre le coefficient de rigidité du ressort et la masse de la charge :

k = m*w^2,

où w est la fréquence d'oscillation.

Le problème donne une équation de mouvement oscillatoire de la forme y + 60y = 0. Par rapport à la formule générale, on peut voir que la fréquence d'oscillation est sqrt(60) et que la masse de la charge est de 0,5 kg. En substituant ces valeurs dans la formule du coefficient de raideur du ressort, on obtient :

k = 0,5*(sqrt(60))^2 = 30.

Ainsi, la constante du ressort est de 30, ce qui est la réponse au problème.

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