Solução para o problema 13.4.5 da coleção de Kepe O.E.

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13.4.5 Para o euovimento oscilatório de uma massa t = 0,5 kg suspensa por uma mola, a equação diferencial tem a forma y + 60y = 0. É necessário determinar o coeficiente de rigidez da mola. (Resposta 30)

Para resolver este problema, é necessário utilizar a fórmula da equação diferencial do movimento oscilatório:

m você'' + k você = 0,

onde m é a massa da carga, k é o coeficiente de rigidez da mola.

Substituindo valores conhecidos nesta fórmula, obtemos:

0,5 você'' + k você = 0.

Para resolver ainda mais esta equação, é necessário encontrar uma solução geral para uma equação da forma:

у = A cos(ωt + φ),

onde A é a amplitude das oscilações, ω é a frequência circular, φ é a fase inicial.

Diferenciando esta função duas vezes, obtemos:

у'' = -A ω^2 cos(ωt + φ).

Substituindo os valores encontrados na equação diferencial original, obtemos:

-0,5 A ω^2 cos(ωt + φ) + k A cos(ωt + φ) = 0.

Esta equação é válida para qualquer t, portanto, o cosseno pode ser eliminado:

-0,5 A ω ^ 2 + k A = 0.

Expressando o coeficiente de rigidez da mola a partir desta equação, obtemos:

k = 0,5ω^2.

Substituindo o valor da frequência ω = 2πf = 2π/T = 2π√(k/m), obtemos:

k = (2π/T)^2 m = (2π/1)^2 0,5 = 4π^2 × 0,5 = 2π^2.

Assim, o coeficiente de rigidez da mola é:

k = 2π^2 ≈ 19.739.

Resposta: 19,739 (o número inteiro mais próximo é 20).

Assim, resolvido este problema, descobrimos que o coeficiente de rigidez da mola é 20 em unidades convencionais.

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Este problema apresenta uma equação diferencial para o movimento oscilatório de uma carga de 0,5 kg suspensa por uma mola, que é escrita como y + 60y = 0, onde y é uma função do tempo que descreve o deslocamento da carga da posição de equilíbrio.

Para resolver o problema é necessário determinar o coeficiente de rigidez da mola.

Para fazer isso, você pode usar a fórmula que descreve o movimento oscilatório de uma carga suspensa em uma mola com rigidez k:

mvocê'' +ky = 0,

onde m é a massa da carga, y é uma função do tempo, descrevendo o deslocamento da carga da posição de equilíbrio, y'' é a segunda derivada da função y em relação ao tempo.

Ao comparar esta fórmula com a equação do problema, podemos derivar a relação entre o coeficiente de rigidez da mola e a massa da carga:

k = m * w ^ 2,

onde w é a frequência de oscilação.

O problema fornece uma equação de movimento oscilatório da forma y + 60y = 0. Comparado com a fórmula geral, pode-se ver que a frequência de oscilação é sqrt(60) e a massa da carga é 0,5 kg. Substituindo esses valores na fórmula do coeficiente de rigidez da mola, obtemos:

k = 0,5*(quadrado(60))^2 = 30.

Assim, a constante da mola é 30, que é a resposta ao problema.

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