Lösung zu Aufgabe 13.4.5 aus der Sammlung von Kepe O.E.

13.4.5 Für die Schwingbewegung einer an einer Feder aufgehängten Masse t = 0,5 kg hat die Differentialgleichung die ForM y + 60y = 0. Es ist notwendig, den Federsteifigkeitskoeffizienten zu bestimmen. (Antwort 30)

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Formel für die Differentialgleichung der Schwingbewegung zu verwenden:

m u'' + k u = 0,

Dabei ist m die Masse der Last und k der Federsteifigkeitskoeffizient.

Wenn wir bekannte Werte in diese Formel einsetzen, erhalten wir:

0,5 u'' + k u = 0.

Um diese Gleichung weiter zu lösen, ist es notwendig, eine allgemeine Lösung für eine Gleichung der Form zu finden:

ó = A cos(ωt + φ),

Dabei ist A die Amplitude der Schwingungen, ω die Kreisfrequenz und φ die Anfangsphase.

Wenn wir diese Funktion zweimal differenzieren, erhalten wir:

ó'' = -A ω^2 cos(ωt + φ).

Wenn wir die gefundenen Werte in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzen, erhalten wir:

-0,5 A ω^2 cos(ωt + φ) + k A cos(ωt + φ) = 0.

Diese Gleichung gilt für jedes t, daher kann der Kosinus eliminiert werden:

-0,5 A ω^2 + k A = 0.

Wenn wir den Federsteifigkeitskoeffizienten aus dieser Gleichung ausdrücken, erhalten wir:

k = 0,5 ω^2.

Wenn wir den Frequenzwert ω = 2πf = 2π/T = 2π√(k/m) einsetzen, erhalten wir:

k = (2π/T)^2 m = (2π/1)^2 0,5 = 4π^2 × 0,5 = 2π^2.

Somit beträgt der Federsteifigkeitskoeffizient:

k = 2π^2 ≈ 19.739.

Antwort: 19,739 (nächste ganze Zahl ist 20).

Nachdem wir dieses Problem gelöst hatten, stellten wir fest, dass der Federsteifigkeitskoeffizient in herkömmlichen Einheiten 20 beträgt.

Lösung zu Aufgabe 13.4.5 aus der Sammlung von Kepe O..

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Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Formel für die Differentialgleichung der Schwingbewegung zu verwenden und eine allgemeine Lösung für eine Gleichung der Form y = A cos(ωt + φ) zu finden, wobei A die Amplitude der Schwingungen und ω ist die Kreisfrequenz, φ ist die Anfangsphase. Durch Einsetzen der gefundenen Werte in die ursprüngliche Differentialgleichung erhalten Sie eine Formel zur Bestimmung des Federsteifigkeitskoeffizienten.

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Das Produkt ist die Lösung zu Problem 13.4.5 aus der Sammlung von Kepe O.?.

Dieses Problem stellt eine Differentialgleichung für die Schwingbewegung einer an einer Feder aufgehängten Last mit einem Gewicht von 0,5 kg dar, die als y + 60y = 0 geschrieben wird, wobei y eine Funktion der Zeit ist, die die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtsposition beschreibt.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, den Federsteifigkeitskoeffizienten zu bestimmen.

Dazu können Sie die Formel verwenden, die die Schwingbewegung einer an einer Feder mit der Steifigkeit k aufgehängten Last beschreibt:

my'' + ky = 0,

Dabei ist m die Masse der Last, y eine Funktion der Zeit, die die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtslage beschreibt, y'' die zweite Ableitung der Funktion y nach der Zeit.

Durch Vergleich dieser Formel mit der Gleichung aus dem Problem können wir den Zusammenhang zwischen dem Federsteifigkeitskoeffizienten und der Masse der Last ableiten:

k = m*w^2,

wobei w die Schwingungsfrequenz ist.

Das Problem ergibt eine Gleichung der Schwingungsbewegung der Form y + 60y = 0. Im Vergleich zur allgemeinen Formel sieht man, dass die Schwingungsfrequenz sqrt(60) beträgt und die Masse der Last 0,5 kg beträgt. Wenn wir diese Werte in die Formel für den Federsteifigkeitskoeffizienten einsetzen, erhalten wir:

k = 0,5*(sqrt(60))^2 = 30.

Somit beträgt die Federkonstante 30, was die Lösung des Problems darstellt.

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